Решение задачи: Найти U в цепи переменного тока

Для решения данной задачи по электротехнике (цепи переменного тока) воспользуемся методом комплексных амплитуд. Дано: \(X_{L1} = 1\) Ом \(X_{L2} = 2\) Ом \(X_C = 1\) Ом \(R = 1\) Ом \(U_C = 1\) В (действующее значение напряжения на конденсаторе) Найти: \(U\) (общее напряжение на входе цепи) Решение: 1. Определим комплексные сопротивления элементов: \[\underline{Z}_{L1} = j X_{L1} = j1\] \[\underline{Z}_{L2} = j X_{L2} = j2\] \[\underline{Z}_C = -j X_C = -j1\] \[\underline{Z}_R = R = 1\] 2. Найдем ток в ветви с конденсатором и резистором (\(I_C\)). Зная напряжение на конденсаторе \(U_C\), найдем модуль тока: \[I_C = \frac{U_C}{X_C} = \frac{1}{1} = 1 \text{ А}\] Примем фазу напряжения на конденсаторе равной \(-90^\circ\), тогда комплексный ток в этой ветви будет вещественным числом (так как ток на конденсаторе опережает напряжение на \(90^\circ\)): \[\underline{I}_C = 1 \text{ А}\] 3. Найдем напряжение на параллельном участке (\(U_{ab}\)). Этот участок состоит из ветви с \(C, R\) и ветви с \(L_2\). Напряжение на первой ветви: \[\underline{U}_{ab} = \underline{I}_C \cdot (\underline{Z}_C + \underline{Z}_R) = 1 \cdot (-j1 + 1) = 1 - j1 \text{ В}\] 4. Найдем ток во второй параллельной ветви (через катушку \(L_2\)): \[\underline{I}_{L2} = \frac{\underline{U}_{ab}}{\underline{Z}_{L2}} = \frac{1 - j1}{j2} = \frac{1}{j2} - \frac{j1}{j2} = -j0,5 - 0,5 = -0,5 - j0,5 \text{ А}\] 5. Найдем общий ток в цепи (ток через \(L_1\)) по первому закону Кирхгофа: \[\underline{I} = \underline{I}_C + \underline{I}_{L2} = 1 + (-0,5 - j0,5) = 0,5 - j0,5 \text{ А}\] 6. Найдем падение напряжения на катушке \(L_1\): \[\underline{U}_{L1} = \underline{I} \cdot \underline{Z}_{L1} = (0,5 - j0,5) \cdot j1 = j0,5 - j^2 0,5 = 0,5 + j0,5 \text{ В}\] 7. Найдем общее входное напряжение по второму закону Кирхгофа: \[\underline{U} = \underline{U}_{L1} + \underline{U}_{ab} = (0,5 + j0,5) + (1 - j1) = 1,5 - j0,5 \text{ В}\] 8. Вычислим действующее значение (модуль) входного напряжения: \[U = \sqrt{1,5^2 + (-0,5)^2} = \sqrt{2,25 + 0,25} = \sqrt{2,5} \approx 1,58 \text{ В}\] Ответ: \(U = \sqrt{2,5} \approx 1,58\) В.