Найти все первообразные данной функции: решение

Хорошо, давайте найдем все первообразные для каждой из данных функций.

1. Функция: \(2x^2 - 5x\)

Для нахождения первообразной используем правило: если \(f(x) = ax^n\), то ее первообразная \(F(x) = a \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). Применяем это правило к каждому члену функции: Первообразная для \(2x^2\): \(2 \frac{x^{2+1}}{2+1} = 2 \frac{x^3}{3}\). Первообразная для \(-5x\): \(-5 \frac{x^{1+1}}{1+1} = -5 \frac{x^2}{2}\). Таким образом, все первообразные для функции \(2x^2 - 5x\) будут: \[F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + C\] где \(C\) - произвольная постоянная.

2. Функция: \(\frac{2}{x^3} - \frac{4}{x^2}\)

Сначала перепишем функцию, используя отрицательные степени: \[f(x) = 2x^{-3} - 4x^{-2}\] Теперь найдем первообразную для каждого члена: Первообразная для \(2x^{-3}\): \(2 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = 2 \frac{x^{-2}}{-2} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). Первообразная для \(-4x^{-2}\): \(-4 \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -4 \frac{x^{-1}}{-1} = 4x^{-1} = \frac{4}{x}\). Таким образом, все первообразные для функции \(\frac{2}{x^3} - \frac{4}{x^2}\) будут: \[F(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} + C\] где \(C\) - произвольная постоянная.

3. Функция: \(x\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}\)

Сначала перепишем функцию, используя дробные степени: \[f(x) = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 3x^{-\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} - 3x^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} - 3x^{-\frac{1}{2}}\] Теперь найдем первообразную для каждого члена: Первообразная для \(x^{\frac{3}{2}}\): \(\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x}\). Первообразная для \(-3x^{-\frac{1}{2}}\): \(-3 \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = -3 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -3 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} = -6\sqrt{x}\). Таким образом, все первообразные для функции \(x\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}\) будут: \[F(x) = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 6\sqrt{x} + C\] где \(C\) - произвольная постоянная.

4. Функция: \(\frac{1}{3}\cos(6x) - 4\sin(4x)\)

Для нахождения первообразной используем правила: Если \(f(x) = \cos(ax)\), то \(F(x) = \frac{1}{a}\sin(ax) + C\). Если \(f(x) = \sin(ax)\), то \(F(x) = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C\). Применяем эти правила к каждому члену функции: Первообразная для \(\frac{1}{3}\cos(6x)\): \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}\sin(6x) = \frac{1}{18}\sin(6x)\). Первообразная для \(-4\sin(4x)\): \(-4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\cos(4x)\right) = \cos(4x)\). Таким образом, все первообразные для функции \(\frac{1}{3}\cos(6x) - 4\sin(4x)\) будут: \[F(x) = \frac{1}{18}\sin(6x) + \cos(4x) + C\] где \(C\) - произвольная постоянная.

5. Функция: \(\frac{3}{\sqrt{2x-1}} + \cos^2(3x)\)

Эта функция состоит из двух частей, которые требуют разных подходов.

Часть 1: \(\frac{3}{\sqrt{2x-1}}\)

Перепишем эту часть как \(3(2x-1)^{-\frac{1}{2}}\). Для нахождения первообразной используем правило для функции вида \((ax+b)^n\): Если \(f(x) = (ax+b)^n\), то \(F(x) = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C\). Здесь \(a=2\), \(b=-1\), \(n=-\frac{1}{2}\). Первообразная для \(3(2x-1)^{-\frac{1}{2}}\): \(3 \cdot \frac{1}{2} \frac{(2x-1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{3}{2} \frac{(2x-1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot 2 (2x-1)^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{2x-1}\).

Часть 2: \(\cos^2(3x)\)

Для этой части используем формулу понижения степени: \(\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}\). В нашем случае \(\alpha = 3x\), поэтому \(2\alpha = 6x\). \[\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(6x)\] Теперь найдем первообразную для \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(6x)\): Первообразная для \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2}x\). Первообразная для \(\frac{1}{2}\cos(6x)\): \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}\sin(6x) = \frac{1}{12}\sin(6x)\). Складываем первообразные для обеих частей: \[F(x) = 3\sqrt{2x-1} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}\sin(6x) + C\] где \(C\) - произвольная постоянная.

6. Функция: \(2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\)

Для этой функции используем формулу понижения степени: \(\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}\). В нашем случае \(\alpha = \frac{x}{2}\), поэтому \(2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x\). Подставляем это в функцию: \[2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1 - \cos(x)}{2} = 1 - \cos(x)\] Теперь найдем первообразную для \(1 - \cos(x)\): Первообразная для \(1\): \(x\). Первообразная для \(-\cos(x)\): \(-\sin(x)\). Таким образом, все первообразные для функции \(2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\) будут: \[F(x) = x - \sin(x) + C\] где \(C\) - произвольная постоянная.