Решение: Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби

Привет! Давай "освободимся от иррациональности в знаменателе дроби". В этом случае в знаменателе у нас сумма корней, поэтому мы будем использовать формулу разности квадратов.

Задача:

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби \(\frac{6}{\sqrt{13} + \sqrt{7}}\).

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе вида \((\sqrt{a} + \sqrt{b})\), нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, которое в данном случае будет \((\sqrt{a} - \sqrt{b})\). Это позволит нам использовать формулу разности квадратов: \((x + y)(x - y) = x^2 - y^2\). В нашем случае, знаменатель \(\sqrt{13} + \sqrt{7}\). Сопряженное ему выражение будет \(\sqrt{13} - \sqrt{7}\). Умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{13} - \sqrt{7}\): \[\frac{6}{\sqrt{13} + \sqrt{7}} = \frac{6 \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{7})}{(\sqrt{13} + \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{7})}\] Теперь вычислим числитель и знаменатель отдельно: 1. **Знаменатель:** Используем формулу разности квадратов: \[(\sqrt{13} + \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{7}) = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{7})^2\] \[= 13 - 7\] \[= 6\] 2. **Числитель:** \[6 \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{7})\] Теперь подставим полученные значения обратно в дробь: \[\frac{6 \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{7})}{6}\] Мы видим, что 6 в числителе и 6 в знаменателе сокращаются: \[\frac{6 \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{7})}{6} = \sqrt{13} - \sqrt{7}\]

Ответ:

Правильный ответ: \(\sqrt{13} - \sqrt{7}\). Среди предложенных вариантов этот ответ присутствует.