Решение задачи №5: Алгоритм обработки числа N

Задача №5 Условие: Автомат обрабатывает натуральное число \(N\) по алгоритму: 1. К десятичной записи справа приписывается последняя цифра числа \(N\). Получается число \(N'\). 2. \(N'\) переводится в двоичную систему. 3. Справа дописывается бит четности (1, если единиц нечетно, и 0, если четно). 4. Результат \(R\) переводится в десятичную систему. Нужно найти минимальное \(N\), чтобы \(R > 207\). Решение: Для поиска минимального \(N\) будем проверять числа в порядке возрастания, начиная с тех, которые могут дать результат в районе 200. 1. Проверим \(N = 10\): Шаг 1: К числу 10 приписываем последнюю цифру 0. Получаем \(N' = 100\). Шаг 2: Переводим 100 в двоичную систему: \[100_{10} = 64 + 32 + 4 = 1100100_2\] Шаг 3: Считаем количество единиц в \(1100100_2\). Их 3 (нечетное число). Значит, приписываем справа 1. Получаем двоичное число: \(11001001_2\). Шаг 4: Переводим результат в десятичную систему: \[11001001_2 = 1 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0\] \[R = 128 + 64 + 8 + 1 = 201\] Число \(201 < 207\). Не подходит. 2. Проверим \(N = 11\): Шаг 1: К числу 11 приписываем последнюю цифру 1. Получаем \(N' = 111\). Шаг 2: Переводим 111 в двоичную систему: \[111_{10} = 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1101111_2\] Шаг 3: Считаем количество единиц в \(1101111_2\). Их 6 (четное число). Значит, приписываем справа 0. Получаем двоичное число: \(11011110_2\). Шаг 4: Переводим результат в десятичную систему: \[11011110_2 = 1 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0\] \[R = 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 222\] Число \(222 > 207\). Условие выполняется. 3. Проверим, нет ли меньшего \(N\). Если \(N = 9\), то \(N' = 99\). \[99_{10} = 1100011_2\] (4 единицы, дописываем 0). \[11000110_2 = 128 + 64 + 4 + 2 = 198\]. \(198 < 207\). Таким образом, минимальное натуральное число \(N\), для которого результат работы автомата превышает 207, равно 11. Ответ: 11