Решение задачи №3: Логарифмическое уравнение

Ниже представлено подробное решение задачи №3 из вашего варианта для записи в тетрадь. Задание 3. Решите уравнение: \[ \log_{8} x + \log_{\sqrt{2}} x = 14 \] Решение: 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как аргумент логарифма должен быть положительным: \[ x > 0 \] 2. Приведем логарифмы к одному основанию. Удобнее всего привести к основанию 2. Вспомним формулу перехода к новому основанию: \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_{a} b \). Преобразуем первый логарифм: \[ \log_{8} x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_{2} x \] Преобразуем второй логарифм: \[ \log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_{2} x = 2 \log_{2} x \] 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \[ \frac{1}{3} \log_{2} x + 2 \log_{2} x = 14 \] 4. Вынесем \( \log_{2} x \) за скобки: \[ \left( \frac{1}{3} + 2 \right) \log_{2} x = 14 \] \[ \frac{7}{3} \log_{2} x = 14 \] 5. Найдем \( \log_{2} x \), разделив обе части уравнения на \( \frac{7}{3} \): \[ \log_{2} x = 14 : \frac{7}{3} \] \[ \log_{2} x = 14 \cdot \frac{3}{7} \] \[ \log_{2} x = 2 \cdot 3 \] \[ \log_{2} x = 6 \] 6. По определению логарифма находим \( x \): \[ x = 2^6 \] \[ x = 64 \] 7. Проверка: \( 64 > 0 \), корень входит в ОДЗ. Ответ: \( 64 \).