Решение задачи №2 и 3: Билет №3

Экзаменационный билет № 3 Задание № 2. Вычислить: \( (72^{2/3})^{1/2} \cdot 36^{1/6} : 2^{4/3} \) Решение: Воспользуемся свойствами степеней. 1) При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (72^{2/3})^{1/2} = 72^{2/3 \cdot 1/2} = 72^{1/3} \). 2) Разложим числа на простые множители: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \), а \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \). 3) Подставим в выражение: \( (2^3 \cdot 3^2)^{1/3} \cdot (2^2 \cdot 3^2)^{1/6} : 2^{4/3} = 2^{3 \cdot 1/3} \cdot 3^{2/3} \cdot 2^{2 \cdot 1/6} \cdot 3^{2 \cdot 1/6} : 2^{4/3} = 2^1 \cdot 3^{2/3} \cdot 2^{1/3} \cdot 3^{1/3} : 2^{4/3} \). 4) Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: \( (2^1 \cdot 2^{1/3} : 2^{4/3}) \cdot (3^{2/3} \cdot 3^{1/3}) = 2^{1 + 1/3 - 4/3} \cdot 3^{2/3 + 1/3} = 2^0 \cdot 3^1 = 1 \cdot 3 = 3 \). Ответ: 3. Задание № 3. Решить уравнение: \( \log_{3}(5x - 1) = 2 \) Решение: 1) По определению логарифма: \( 5x - 1 = 3^2 \). 2) Вычислим правую часть: \( 5x - 1 = 9 \). 3) Перенесем единицу в правую часть: \( 5x = 9 + 1 \). 4) Получим: \( 5x = 10 \). 5) Найдем x: \( x = 10 : 5 \), следовательно \( x = 2 \). 6) Проверка ОДЗ: \( 5 \cdot 2 - 1 = 9 > 0 \), условие выполняется. Ответ: 2.