Решение задачи: Кинематика кривошипно-шатунного механизма

На рисунке представлен кривошипно-шатунный механизм. Нам необходимо определить кинематические характеристики механизма (скорости точек) при заданных параметрах. Дано: \(OA = 0.4\) м \(AB = 0.82\) м \(\phi = 25^{\circ}\) \(n = 120\) об/мин Решение: 1. Определим угловую скорость кривошипа \(OA\): \[\omega_{OA} = \frac{\pi \cdot n}{30} = \frac{\pi \cdot 120}{30} = 4\pi \approx 12.57 \text{ рад/с}\] 2. Найдем линейную скорость точки \(A\). Так как точка \(A\) движется по окружности вокруг точки \(O\): \[v_A = \omega_{OA} \cdot OA = 12.57 \cdot 0.4 = 5.028 \text{ м/с}\] Вектор скорости \(\vec{v}_A\) направлен перпендикулярно кривошипу \(OA\). 3. Для нахождения скорости ползуна \(B\) воспользуемся методом мгновенного центра скоростей (МЦС) для шатуна \(AB\). Скорость точки \(B\) направлена горизонтально (вдоль направляющих). Проведем перпендикуляры к векторам скоростей точек \(A\) и \(B\): - Перпендикуляр к \(\vec{v}_A\) совпадает с линией \(OA\). - Перпендикуляр к \(\vec{v}_B\) проходит вертикально через точку \(B\). Точка их пересечения \(P\) является МЦС шатуна \(AB\). 4. Из геометрических соображений (теорема синусов для треугольника \(OAB\)): Найдем угол \(\beta\) (угол \(ABO\)): \[\frac{OA}{\sin \beta} = \frac{AB}{\sin \phi} \Rightarrow \sin \beta = \frac{OA \cdot \sin \phi}{AB}\] \[\sin \beta = \frac{0.4 \cdot \sin 25^{\circ}}{0.82} \approx \frac{0.4 \cdot 0.4226}{0.82} \approx 0.206\] \[\beta \approx 11.9^{\circ}\] 5. Скорость ползуна \(B\) можно найти через проекции скоростей на ось шатуна \(AB\) (свойство: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, их соединяющую, равны): \[v_A \cdot \cos(90^{\circ} - (\phi + \beta)) = v_B \cdot \cos \beta\] Учитывая, что \(\cos(90^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha\): \[v_B = \frac{v_A \cdot \sin(\phi + \beta)}{\cos \beta}\] \[v_B = \frac{5.028 \cdot \sin(25^{\circ} + 11.9^{\circ})}{\cos 11.9^{\circ}} = \frac{5.028 \cdot \sin 36.9^{\circ}}{\cos 11.9^{\circ}}\] \[v_B \approx \frac{5.028 \cdot 0.600}{0.978} \approx 3.08 \text{ м/с}\] 6. Угловая скорость шатуна \(AB\): \[\omega_{AB} = \frac{v_A \cdot \cos \phi + v_B \cdot \sin 0}{AB \cdot \cos \beta} \text{ (или через МЦС)}\] \[\omega_{AB} = \frac{v_A \cdot \cos(\phi + \beta)}{AB \cdot \cos \beta} \text{ (в проекции на перпендикуляр)}\] Более простой способ через МЦС: \[\omega_{AB} = \frac{v_A}{PA}\] Где \(PA\) — расстояние от МЦС до точки \(A\). Ответ: Скорость точки \(A\) составляет \(5.03\) м/с, скорость ползуна \(B\) примерно \(3.08\) м/с.