Решение задачи 4.7: Параллельность прямой и плоскости

Задача 4.7. Через точку \( A \) провести прямую, параллельную плоскости \( \alpha (a \cap b) \) и пересекающую прямую \( l \). **Простое объяснение:** Чтобы решить эту задачу, нам нужно построить прямую, которая одновременно удовлетворяет двум условиям: она должна быть параллельна плоскости \( \alpha \) и должна «врезаться» в прямую \( l \). 1. **Строим «параллельный щит»:** Чтобы наша будущая прямая была параллельна плоскости \( \alpha \), она должна лежать в какой-то другой плоскости, параллельной \( \alpha \). Проведем через точку \( A \) свою плоскость (назовем ее \( \beta \)). Как это сделать? Просто проведем через \( A' \) и \( A'' \) линии, параллельные прямым \( a \) и \( b \). Теперь у нас есть плоскость, проходящая через \( A \), которая точно параллельна заданной. 2. **Ищем точку встречи:** Теперь нам нужно найти, в каком месте прямая \( l \) протыкает наш «щит» (плоскость \( \beta \)). Это делается по уже знакомому методу: \( \bullet \) Заключаем \( l' \) во вспомогательную плоскость (просто проводим через нее линию). \( \bullet \) Находим, где эта линия пересекает наши новые прямые, проведенные через \( A \). \( \bullet \) Находим точку \( K \), где прямая \( l \) пересекает плоскость \( \beta \). 3. **Рисуем ответ:** Соединяем точку \( A \) и найденную точку \( K \). Прямая \( AK \) — это и есть ответ. Она пересекает \( l \) (в точке \( K \)) и параллельна плоскости \( \alpha \) (так как целиком лежит в параллельной ей плоскости). --- **Алгоритм решения для тетради:** \[ 1. \text{ Через точку } A \text{ проводим плоскость } \beta \parallel \alpha. \] \[ \text{Для этого проводим } m \parallel a \text{ и } n \parallel b \text{ так, чтобы } A \in m, A \in n. \] \[ 2. \text{ Находим точку пересечения прямой } l \text{ с плоскостью } \beta: \] \[ \bullet \text{ Вводим вспомогательную плоскость } \gamma \text{ (пусть } \gamma_H \equiv l' \text{)}. \] \[ \bullet \text{ Находим линию пересечения } p = \gamma \cap \beta. \] \[ \bullet \text{ Отмечаем точку } K = p \cap l. \] \[ 3. \text{ Проводим искомую прямую через точки } A \text{ и } K. \] **Как это нарисовать (пошагово):** 1. Через \( A'' \) проведи линию, параллельную \( a'' \). Через \( A' \) проведи линию, параллельную \( a' \). 2. Найди точку \( K \), где прямая \( l \) пересекает эту новую плоскость (используй метод из задачи 4.4). 3. Соедини \( A'' \) с \( K'' \) и \( A' \) с \( K' \). Полученная прямая \( AK \) — результат.