Решение задач методом Крамера: Пошаговое объяснение

Ниже представлено объяснение сути решения основных типов задач из ваших карточек. Это поможет понять логику выполнения заданий для записи в тетрадь. 1. Решение СЛУ методом Крамера Суть метода заключается в использовании определителей (детерминантов) матрицы системы. Для системы из двух уравнений: \[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \] Сначала находится главный определитель \( \Delta \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1 \] Затем вспомогательные определители \( \Delta_x \) (заменяем первый столбец на свободные члены) и \( \Delta_y \) (заменяем второй столбец): \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}, \quad \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} \] Финальные значения находятся по формулам: \( x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \), \( y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \). 2. Решение уравнений с модулем Суть заключается в последовательном "раскрытии" модулей. Уравнение вида \( |f(x)| = a \) распадается на два случая: \( f(x) = a \) или \( f(x) = -a \) (при условии \( a \ge 0 \)). Если модули вложенные, процедура повторяется для каждого уровня, пока не получится обычное линейное уравнение. 3. Комплексные числа: умножение и модуль При умножении \( (a + bi) \cdot (c + di) \) используется правило "каждый на каждого" с учетом того, что \( i^2 = -1 \). Модуль комплексного числа \( z = a + bi \) вычисляется по формуле: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] Важное свойство: модуль произведения равен произведению модулей, то есть \( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \). Это часто упрощает вычисления. 4. Анализ графика производной Здесь важно помнить связь между функцией \( f(x) \) и её производной \( f'(x) \): - Если \( f'(x) > 0 \) (график выше оси X), то функция возрастает. - Если \( f'(x) < 0 \) (график ниже оси X), то функция убывает. - Точки максимума — это точки, где \( f'(x) \) меняет знак с "+" на "-". - Точки минимума — это точки, где \( f'(x) \) меняет знак с "-" на "+". 5. Вычисление определенного интеграла Используется формула Ньютона-Лейбница: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \] Где \( F(x) \) — первообразная функции. Сначала находим первообразную для каждого слагаемого (по правилу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \)), а затем подставляем верхний и нижний пределы интегрирования. 6. Объем тела вращения Для фигуры, ограниченной линией \( y = f(x) \), осью OX и прямыми \( x=a, x=b \), объем вычисляется по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx \] Нужно возвести функцию в квадрат и вычислить полученный интеграл. 7. Векторы Для нахождения длины вектора \( \vec{n} = (x; y; z) \) используется формула: \[ |\vec{n}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Если вектор задан через другие векторы (например, \( \vec{n} = 2\vec{a} - 3\vec{b} \)), сначала находятся координаты результирующего вектора (путем умножения координат на числа и их вычитания), а затем вычисляется его длина. 8. Стереометрия (наклонная и проекция) Все задачи этого типа сводятся к решению прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром (\( h \)), наклонной (\( l \)) и её проекцией (\( p \)). - По теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + p^2 \). - Через тригонометрию: \( p = l \cdot \cos(\alpha) \), \( h = l \cdot \sin(\alpha) \), где \( \alpha \) — угол между наклонной и плоскостью.