Задача №1
Функция задана формулой \(y = 3x - 10\). Определите:
а) значение \(y\), если \(x = 2\)
б) значение \(x\), если \(y = 2\)
в) проходит ли график функции через точку \(A(-2; -16)\).
Решение:
а) Чтобы найти значение \(y\), если \(x = 2\), подставим \(x = 2\) в формулу функции:
\(y = 3 \cdot 2 - 10\)
\(y = 6 - 10\)
\(y = -4\)
Ответ: \(y = -4\).
б) Чтобы найти значение \(x\), если \(y = 2\), подставим \(y = 2\) в формулу функции и решим уравнение относительно \(x\):
\(2 = 3x - 10\)
Перенесем число -10 в левую часть уравнения, изменив знак:
\(2 + 10 = 3x\)
\(12 = 3x\)
Разделим обе части уравнения на 3:
\(x = \frac{12}{3}\)
\(x = 4\)
Ответ: \(x = 4\).
в) Чтобы проверить, проходит ли график функции через точку \(A(-2; -16)\), нужно подставить координаты этой точки (\(x = -2\), \(y = -16\)) в формулу функции. Если равенство будет верным, то график проходит через эту точку.
Подставим \(x = -2\) в формулу функции:
\(y = 3 \cdot (-2) - 10\)
\(y = -6 - 10\)
\(y = -16\)
Полученное значение \(y = -16\) совпадает с координатой \(y\) точки \(A\). Значит, график функции проходит через точку \(A(-2; -16)\).
Ответ: Да, проходит.
Задача №2
Найдите координаты точки пересечения графиков функций \(y = 47x - 37\) и \(y = -13x + 23\).
Решение:
В точке пересечения графиков функций значения \(y\) для обеих функций равны. Поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:
\(47x - 37 = -13x + 23\)
Теперь решим это уравнение относительно \(x\). Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа - в правую, меняя знаки при переносе:
\(47x + 13x = 23 + 37\)
\(60x = 60\)
Разделим обе части уравнения на 60:
\(x = \frac{60}{60}\)
\(x = 1\)
Теперь, когда мы нашли значение \(x\), подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение \(y\). Возьмем первое уравнение:
\(y = 47x - 37\)
\(y = 47 \cdot 1 - 37\)
\(y = 47 - 37\)
\(y = 10\)
Координаты точки пересечения: \((1; 10)\).
Ответ: \((1; 10)\).
Задача №3
В одной системе координат постройте графики функций:
\(y = -2x\)
\(y = -3x + 3\)
\(y = 3\)
Решение:
Для построения графика каждой линейной функции достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этому графику, а затем соединить их прямой линией.
1. Функция \(y = -2x\)
Это прямая пропорциональность, график которой проходит через начало координат \((0; 0)\).
Найдем вторую точку:
Если \(x = 1\), то \(y = -2 \cdot 1 = -2\). Точка \((1; -2)\).
Точки для построения: \((0; 0)\) и \((1; -2)\).
2. Функция \(y = -3x + 3\)
Найдем две точки:
Если \(x = 0\), то \(y = -3 \cdot 0 + 3 = 3\). Точка \((0; 3)\).
Если \(x = 1\), то \(y = -3 \cdot 1 + 3 = -3 + 3 = 0\). Точка \((1; 0)\).
Точки для построения: \((0; 3)\) и \((1; 0)\).
3. Функция \(y = 3\)
Это горизонтальная прямая, проходящая через все точки, у которых координата \(y\) равна 3. Она параллельна оси \(Ox\).
Например, точки: \((0; 3)\) и \((1; 3)\).
Построение графиков:
Начертите систему координат с осями \(Ox\) (горизонтальная) и \(Oy\) (вертикальная). Отметьте начало координат \((0; 0)\).
Для \(y = -2x\): Отметьте точки \((0; 0)\) и \((1; -2)\). Проведите через них прямую.
Для \(y = -3x + 3\): Отметьте точки \((0; 3)\) и \((1; 0)\). Проведите через них прямую.
Для \(y = 3\): Отметьте точки \((0; 3)\) и \((1; 3)\). Проведите через них прямую. Эта прямая будет горизонтальной.
(Примечание: Здесь я не могу нарисовать графики, но описал шаги для их построения в тетради.)
Задача №4
Постройте график функции \(y = 1,5x - 4\). Используя график, определите значение \(y\), если \(x = 4\).
Решение:
Для построения графика функции \(y = 1,5x - 4\) найдем две точки:
Если \(x = 0\), то \(y = 1,5 \cdot 0 - 4 = -4\). Точка \((0; -4)\).
Если \(x = 2\), то \(y = 1,5 \cdot 2 - 4 = 3 - 4 = -1\). Точка \((2; -1)\).
Точки для построения: \((0; -4)\) и \((2; -1)\).
Построение графика:
Начертите систему координат. Отметьте точки \((0; -4)\) и \((2; -1)\). Проведите через них прямую.
Определение значения \(y\) по графику, если \(x = 4\):
На оси \(Ox\) найдите отметку \(x = 4\).
От этой отметки проведите вертикальную линию вверх или вниз до пересечения с построенным графиком функции.
От точки пересечения проведите горизонтальную линию до пересечения с осью \(Oy\).
Значение, которое вы увидите на оси \(Oy\), и будет искомым значением \(y\).
Давайте также вычислим это значение, чтобы проверить себя:
Если \(x = 4\), то \(y = 1,5 \cdot 4 - 4 = 6 - 4 = 2\).
Таким образом, по графику вы должны получить \(y = 2\).
Ответ: По графику \(y = 2\).
Задача №5
Функция задана формулой \(y = 0,5x + 1\).
Найдите \(y\), если \(x = -6\).
Найдите \(x\), если \(y = 4,5\).
Решение:
1. Найдем \(y\), если \(x = -6\).
Подставим \(x = -6\) в формулу функции:
\(y = 0,5 \cdot (-6) + 1\)
\(y = -3 + 1\)
\(y = -2\)
Ответ: \(y = -2\).
2. Найдем \(x\), если \(y = 4,5\).
Подставим \(y = 4,5\) в формулу функции и решим уравнение относительно \(x\):
\(4,5 = 0,5x + 1\)
Перенесем число 1 в левую часть уравнения, изменив знак:
\(4,5 - 1 = 0,5x\)
\(3,5 = 0,5x\)
Разделим обе части уравнения на 0,5:
\(x = \frac{3,5}{0,5}\)
\(x = 7\)
Ответ: \(x = 7\).