Хорошо, давайте решим эту задачу по сопротивлению материалов.
Дано:
\(F_1 = 24 \, \text{кН}\)
\(F_2 = 6 \, \text{кН}\)
\(F_3 = 8 \, \text{кН}\)
\(A_1 = 120 \, \text{мм}^2\)
\(A_2 = 90 \, \text{мм}^2\)
Длины участков:
Первый участок (слева направо, от заделки до \(F_3\)): \(L_1 = 1 \, \text{м}\)
Второй участок (от \(F_3\) до \(F_2\)): \(L_2 = 1 \, \text{м}\)
Третий участок (от \(F_2\) до \(F_1\)): \(L_3 = 2 \, \text{м}\)
Требуется:
1. Построить эпюры продольных сил \(N(x)\).
2. Построить эпюры нормальных напряжений \(\sigma(x)\).
3. Определить деформацию бруса (полное удлинение).
Для решения задачи нам также понадобится модуль упругости материала (модуль Юнга). В условии он не указан, поэтому примем его для стали:
\(E = 2 \cdot 10^5 \, \text{МПа} = 2 \cdot 10^{11} \, \text{Па}\)
Переведем все величины в СИ:
\(F_1 = 24 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(F_2 = 6 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(F_3 = 8 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(A_1 = 120 \, \text{мм}^2 = 120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\)
\(A_2 = 90 \, \text{мм}^2 = 90 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\)
\(L_1 = 1 \, \text{м}\)
\(L_2 = 1 \, \text{м}\)
\(L_3 = 2 \, \text{м}\)
1. Построение эпюры продольных сил \(N(x)\)
Для построения эпюры продольных сил разделим брус на участки и определим внутренние силы в каждом участке методом сечений. Направление положительной оси \(x\) примем от заделки вправо.
Участок I (от \(x=0\) до \(x=1 \, \text{м}\))
Этот участок находится между заделкой и силой \(F_3\).
Сделаем сечение на этом участке. Рассмотрим правую часть от сечения.
В этом случае, чтобы найти продольную силу \(N_1\), нужно сложить все силы, действующие справа от сечения.
\(N_1 = F_1 - F_2 - F_3\)
\(N_1 = 24 \cdot 10^3 \, \text{Н} - 6 \cdot 10^3 \, \text{Н} - 8 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(N_1 = (24 - 6 - 8) \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(N_1 = 10 \cdot 10^3 \, \text{Н} = 10 \, \text{кН}\)
Поскольку \(N_1\) положительна, на этом участке действует растяжение.
Площадь поперечного сечения на этом участке: \(A_2 = 90 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\).
Участок II (от \(x=1 \, \text{м}\) до \(x=2 \, \text{м}\))
Этот участок находится между силами \(F_3\) и \(F_2\).
Сделаем сечение на этом участке. Рассмотрим правую часть от сечения.
\(N_2 = F_1 - F_2\)
\(N_2 = 24 \cdot 10^3 \, \text{Н} - 6 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(N_2 = 18 \cdot 10^3 \, \text{Н} = 18 \, \text{кН}\)
Поскольку \(N_2\) положительна, на этом участке действует растяжение.
Площадь поперечного сечения на этом участке: \(A_1 = 120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\).
Участок III (от \(x=2 \, \text{м}\) до \(x=4 \, \text{м}\))
Этот участок находится между силой \(F_2\) и силой \(F_1\).
Сделаем сечение на этом участке. Рассмотрим правую часть от сечения.
\(N_3 = F_1\)
\(N_3 = 24 \cdot 10^3 \, \text{Н} = 24 \, \text{кН}\)
Поскольку \(N_3\) положительна, на этом участке действует растяжение.
Площадь поперечного сечения на этом участке: \(A_1 = 120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\).
Эпюра продольных сил \(N(x)\)
Эпюра будет выглядеть следующим образом:
* От \(x=0\) до \(x=1 \, \text{м}\): \(N(x) = 10 \, \text{кН}\) (растяжение)
* От \(x=1 \, \text{м}\) до \(x=2 \, \text{м}\): \(N(x) = 18 \, \text{кН}\) (растяжение)
* От \(x=2 \, \text{м}\) до \(x=4 \, \text{м}\): \(N(x) = 24 \, \text{кН}\) (растяжение)
(Здесь должен быть рисунок эпюры. Представьте горизонтальную ось \(x\), на которой отмечены 0, 1м, 2м, 4м. Над осью рисуются прямоугольники, соответствующие значениям \(N\). Все значения положительные, поэтому эпюра будет выше оси \(x\).)
2. Построение эпюры нормальных напряжений \(\sigma(x)\)
Нормальное напряжение \(\sigma\) определяется по формуле:
\[\sigma = \frac{N}{A}\]
где \(N\) - продольная сила, \(A\) - площадь поперечного сечения.
Участок I (от \(x=0\) до \(x=1 \, \text{м}\))
\(N_1 = 10 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(A_2 = 90 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\)
\[\sigma_1 = \frac{N_1}{A_2} = \frac{10 \cdot 10^3 \, \text{Н}}{90 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} = \frac{10}{90} \cdot 10^9 \, \text{Па} = \frac{1}{9} \cdot 10^9 \, \text{Па} \approx 0.111 \cdot 10^9 \, \text{Па} = 111.1 \, \text{МПа}\]
Напряжение положительное, значит, растягивающее.
Участок II (от \(x=1 \, \text{м}\) до \(x=2 \, \text{м}\))
\(N_2 = 18 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(A_1 = 120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\)
\[\sigma_2 = \frac{N_2}{A_1} = \frac{18 \cdot 10^3 \, \text{Н}}{120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} = \frac{18}{120} \cdot 10^9 \, \text{Па} = \frac{3}{20} \cdot 10^9 \, \text{Па} = 0.15 \cdot 10^9 \, \text{Па} = 150 \, \text{МПа}\]
Напряжение положительное, значит, растягивающее.
Участок III (от \(x=2 \, \text{м}\) до \(x=4 \, \text{м}\))
\(N_3 = 24 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(A_1 = 120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\)
\[\sigma_3 = \frac{N_3}{A_1} = \frac{24 \cdot 10^3 \, \text{Н}}{120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} = \frac{24}{120} \cdot 10^9 \, \text{Па} = \frac{1}{5} \cdot 10^9 \, \text{Па} = 0.2 \cdot 10^9 \, \text{Па} = 200 \, \text{МПа}\]
Напряжение положительное, значит, растягивающее.
Эпюра нормальных напряжений \(\sigma(x)\)
Эпюра будет выглядеть следующим образом:
* От \(x=0\) до \(x=1 \, \text{м}\): \(\sigma(x) = 111.1 \, \text{МПа}\) (растяжение)
* От \(x=1 \, \text{м}\) до \(x=2 \, \text{м}\): \(\sigma(x) = 150 \, \text{МПа}\) (растяжение)
* От \(x=2 \, \text{м}\) до \(x=4 \, \text{м}\): \(\sigma(x) = 200 \, \text{МПа}\) (растяжение)
(Здесь также должен быть рисунок эпюры. Аналогично эпюре \(N(x)\), но с другими значениями. Все значения положительные, поэтому эпюра будет выше оси \(x\).)
3. Определение деформации бруса (полное удлинение)
Полное удлинение бруса \(\Delta L\) определяется как сумма удлинений каждого участка:
\[\Delta L = \sum_{i=1}^{3} \Delta L_i\]
Удлинение каждого участка \(\Delta L_i\) определяется по формуле:
\[\Delta L_i = \frac{N_i \cdot L_i}{E \cdot A_i}\]
где \(N_i\) - продольная сила на участке, \(L_i\) - длина участка, \(E\) - модуль упругости, \(A_i\) - площадь поперечного сечения на участке.
Удлинение Участка I
\(N_1 = 10 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(L_1 = 1 \, \text{м}\)
\(A_2 = 90 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\)
\(E = 2 \cdot 10^{11} \, \text{Па}\)
\[\Delta L_1 = \frac{10 \cdot 10^3 \, \text{Н} \cdot 1 \, \text{м}}{2 \cdot 10^{11} \, \text{Па} \cdot 90 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} = \frac{10 \cdot 10^3}{180 \cdot 10^5} = \frac{10}{18000} = \frac{1}{1800} \, \text{м} \approx 0.0005556 \, \text{м} = 0.5556 \, \text{мм}\]
Удлинение Участка II
\(N_2 = 18 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(L_2 = 1 \, \text{м}\)
\(A_1 = 120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\)
\(E = 2 \cdot 10^{11} \, \text{Па}\)
\[\Delta L_2 = \frac{18 \cdot 10^3 \, \text{Н} \cdot 1 \, \text{м}}{2 \cdot 10^{11} \, \text{Па} \cdot 120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} = \frac{18 \cdot 10^3}{240 \cdot 10^5} = \frac{18}{24000} = \frac{3}{4000} \, \text{м} = 0.00075 \, \text{м} = 0.75 \, \text{мм}\]
Удлинение Участка III
\(N_3 = 24 \cdot 10^3 \, \text{Н}\)
\(L_3 = 2 \, \text{м}\)
\(A_1 = 120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2\)
\(E = 2 \cdot 10^{11} \, \text{Па}\)
\[\Delta L_3 = \frac{24 \cdot 10^3 \, \text{Н} \cdot 2 \, \text{м}}{2 \cdot 10^{11} \, \text{Па} \cdot 120 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} = \frac{48 \cdot 10^3}{240 \cdot 10^5} = \frac{48}{24000} = \frac{1}{500} \, \text{м} = 0.002 \, \text{м} = 2 \, \text{мм}\]
Полное удлинение бруса
\[\Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 + \Delta L_3\]
\[\Delta L = 0.0005556 \, \text{м} + 0.00075 \, \text{м} + 0.002 \, \text{м}\]
\[\Delta L = 0.0033056 \, \text{м} \approx 3.3056 \, \text{мм}\]
Ответы:
1. Эпюра продольных сил \(N(x)\):
* На участке от 0 до 1 м: \(N = 10 \, \text{кН}\) (растяжение)
* На участке от 1 м до 2 м: \(N = 18 \, \text{кН}\) (растяжение)
* На участке от 2 м до 4 м: \(N = 24 \, \text{кН}\) (растяжение)
2. Эпюра нормальных напряжений \(\sigma(x)\):
* На участке от 0 до 1 м: \(\sigma = 111.1 \, \text{МПа}\) (растяжение)
* На участке от 1 м до 2 м: \(\sigma = 150 \, \text{МПа}\) (растяжение)
* На участке от 2 м до 4 м: \(\sigma = 200 \, \text{МПа}\) (растяжение)
3. Полное удлинение бруса: \(\Delta L \approx 3.3056 \, \text{мм}\)
Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!
