Решение задачи: Определение абсолютного ускорения точки

Дано: \[ \omega_1 = 2t^2 \text{ (рад/с)} \] \[ R_1 = 1 \text{ м} \] \[ R_2 = 0.8 \text{ м} \] \[ r = 0.4 \text{ м} \] \[ t = 2 \text{ с} \] Найти: \( a_3 \) — ускорение груза 3. Решение: 1. Колеса 1 и 2 находятся во внешнем зацеплении. В точке касания их линейные скорости равны: \[ v_1 = v_2 \] \[ \omega_1 \cdot R_1 = \omega_2 \cdot R_2 \] Отсюда выразим угловую скорость колеса 2: \[ \omega_2 = \frac{\omega_1 \cdot R_1}{R_2} = \frac{2t^2 \cdot 1}{0.8} = 2.5t^2 \text{ (рад/с)} \] 2. Груз 3 подвешен на нити, намотанной на малый радиус \( r \) колеса 2. Скорость груза \( v_3 \) равна линейной скорости точек на окружности радиуса \( r \): \[ v_3 = \omega_2 \cdot r \] Подставим выражение для \( \omega_2 \): \[ v_3 = 2.5t^2 \cdot 0.4 = 1t^2 = t^2 \text{ (м/с)} \] 3. Ускорение груза \( a_3 \) — это производная от его скорости по времени: \[ a_3 = \frac{dv_3}{dt} = \frac{d(t^2)}{dt} = 2t \text{ (м/с}^2) \] 4. Вычислим значение ускорения в момент времени \( t = 2 \text{ с} \): \[ a_3 = 2 \cdot 2 = 4 \text{ м/с}^2 \] Ответ: \( a_3 = 4 \text{ м/с}^2 \).