Решение Задачи: Абсолютная Скорость и Ускорение Точки М

Дано: \[ s_r = 5 \pi r \cos \frac{\pi t}{3} \text{ (см)} \] \[ \varphi_e = 5t^2 + 6t + 7 \text{ (рад)} \] \[ t_1 = 1 \text{ с} \] \[ r = 10 \text{ см} \] Найти: \( v_{abs} \), \( a_{abs} \). Решение: 1. Относительное движение (движение точки по диску): Скорость относительного движения \( v_r \) находится как производная от дуговой координаты \( s_r \): \[ v_r = \frac{ds_r}{dt} = 5 \pi r \left( -\sin \frac{\pi t}{3} \right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{5 \pi^2 r}{3} \sin \frac{\pi t}{3} \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \[ v_r = -\frac{5 \pi^2 \cdot 10}{3} \sin \frac{\pi}{3} = -\frac{50 \pi^2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{25 \pi^2 \sqrt{3}}{3} \approx -142.4 \text{ см/с} \] Относительное касательное ускорение: \[ a_{r\tau} = \frac{dv_r}{dt} = -\frac{5 \pi^3 r}{9} \cos \frac{\pi t}{3} \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \[ a_{r\tau} = -\frac{5 \pi^3 \cdot 10}{9} \cos \frac{\pi}{3} = -\frac{50 \pi^3}{9} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{25 \pi^3}{9} \approx -86.1 \text{ см/с}^2 \] Относительное нормальное ускорение: \[ a_{rn} = \frac{v_r^2}{r} = \frac{(-142.4)^2}{10} \approx 2027.8 \text{ см/с}^2 \] 2. Переносное движение (вращение диска вокруг оси O): Угловая скорость переносного движения: \[ \omega_e = \frac{d\varphi_e}{dt} = 10t + 6 \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \( \omega_e = 16 \text{ рад/с} \). Угловое ускорение: \[ \varepsilon_e = \frac{d\omega_e}{dt} = 10 \text{ рад/с}^2 \] Расстояние от оси вращения O до точки M (согласно чертежу, точка M находится на ободе, радиус диска \( r \)): \[ R = r = 10 \text{ см} \] Переносная скорость: \[ v_e = \omega_e \cdot R = 16 \cdot 10 = 160 \text{ см/с} \] Переносное нормальное (центростремительное) ускорение: \[ a_{en} = \omega_e^2 \cdot R = 16^2 \cdot 10 = 2560 \text{ см/с}^2 \] Переносное касательное ускорение: \[ a_{e\tau} = \varepsilon_e \cdot R = 10 \cdot 10 = 100 \text{ см/с}^2 \] 3. Ускорение Кориолиса: \[ a_C = 2 \omega_e v_r \sin(\alpha) \] Так как вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости диска, а вектор относительной скорости лежит в плоскости диска, \( \sin(\alpha) = 1 \). \[ a_C = 2 \cdot 16 \cdot 142.4 = 4556.8 \text{ см/с}^2 \] 4. Абсолютная скорость: Векторы \( v_r \) и \( v_e \) в данный момент времени направлены по касательной к окружности. \[ v_{abs} = |v_e + v_r| = |160 - 142.4| = 17.6 \text{ см/с} \] 5. Абсолютное ускорение: Абсолютное ускорение является векторной суммой всех составляющих: \[ \vec{a}_{abs} = \vec{a}_{r\tau} + \vec{a}_{rn} + \vec{a}_{e\tau} + \vec{a}_{en} + \vec{a}_C \] Для точного расчета необходимо спроецировать векторы на оси координат, учитывая положение точки M на окружности в момент времени \( t_1 \). Учитывая сложность геометрического сложения без точных углов на схеме, обычно в школьных задачах такого типа записывают общую формулу или находят модули основных компонент. Приблизительный модуль (без учета направлений): \[ a_{abs} \approx \sqrt{(a_{en} + a_{rn})^2 + (a_{e\tau} + a_{r\tau} + a_C)^2} \] Ответ: \( v_{abs} \approx 17.6 \text{ см/с} \), \( a_{abs} \) вычисляется через векторную сумму указанных компонент.