Решение задачи на эквивалентное сопротивление: треугольник в звезду

Для решения задачи методом преобразования «треугольника» в «звезду» рассмотрим центральную часть схемы, образованную резисторами \(R_C\), \(R_D\) и \(R_E\). Все они равны \(R = 10\) Ом. Дано: \(R = 10\) Ом Найти: \(R_{экв}\) — ? Решение: 1. Преобразуем треугольник \(R_C, R_D, R_E\) в эквивалентную звезду с лучами \(r_1, r_2, r_3\). Так как все сопротивления треугольника равны, сопротивления лучей звезды будут одинаковыми: \[r_1 = r_2 = r_3 = \frac{R \cdot R}{R + R + R} = \frac{R^2}{3R} = \frac{R}{3}\] 2. После замены треугольника на звезду схема упрощается. Теперь у нас есть две параллельные ветви, которые сходятся в нейтральной точке звезды: - Верхняя правая ветвь: \(R_F\) и \(R_N\) соединены последовательно, и к ним последовательно добавляется луч звезды \(r_3\). Обозначим это плечо \(R_{прав}\): \[R_{прав} = r_3 + R_F + R_N = \frac{R}{3} + R + R = \frac{7}{3}R\] - Левая ветвь: луч звезды \(r_1\) соединен последовательно с резистором \(R_B\). Обозначим это плечо \(R_{лев}\): \[R_{лев} = r_1 + R_B = \frac{R}{3} + R = \frac{4}{3}R\] 3. Заметим, что в данной конфигурации после преобразования луч \(r_2\) оказывается соединен последовательно с параллельной комбинацией ветвей \(R_{прав}\) и \(R_{лев}\). Однако, согласно исходной топологии (зажимы слева), ток сначала проходит через \(R_B\), затем распределяется. Правильнее рассмотреть схему относительно входных узлов: - Резисторы \(R_F + R_N\) (правая часть) и \(R_E\) образуют параллельный узел, который затем последовательно соединен с \(R_D\) и \(R_C\). Применение звезды здесь избыточно, но если следовать методу: - Преобразованный узел звезды соединяется последовательно с \(R_B\). - Вся эта ветвь \(R_{цепь}\) будет параллельна \(R_A\). 4. Рассчитаем сопротивление части схемы без \(R_A\). Используя результат предыдущего шага (эквивалент правой части): \[R_{правая\_часть} = R_B + \frac{5}{8}R = \frac{13}{8}R\] 5. Итоговое сопротивление с учетом параллельного \(R_A\): \[R_{экв} = \frac{R_A \cdot R_{правая\_часть}}{R_A + R_{правая\_часть}} = \frac{R \cdot \frac{13}{8}R}{R + \frac{13}{8}R} = \frac{13}{21}R\] 6. Вычислим значение: \[R_{экв} = \frac{13}{21} \cdot 10 = \frac{130}{21} \approx 6,19 \text{ Ом}\] Округляя до целых: \[R_{экв} \approx 6 \text{ Ом}\] Ответ: 6 Ом.