Решение задачи по термеху: определение P и реакций опор

Задача по теоретической механике. Дано: \(a = 0,4\) м \(b = 0,8\) м \(R = 0,2\) м \(e = 0,05\) м \(\alpha = 75^{\circ}\) \(G = 10\) кН \(Q = 36\) кН Коэффициент трения \(f\) (примем стандартное значение для тормозных колодок \(f = 0,3\), так как в условии сказано "задан", но число не вписано). Найти: \(P\), реакции в точках \(A\) и \(O\). Решение: 1. Рассмотрим равновесие тормозного барабана (точка \(O\)). На барабан действует момент от груза \(Q\) и тормозной момент от силы трения \(F_{тр}\). Радиус шкива, на который намотан канат с грузом \(Q\), согласно чертежу равен \(1,4R\). Уравнение моментов относительно точки \(O\): \[ \sum M_O = 0 \Rightarrow Q \cdot 1,4R - F_{тр} \cdot R = 0 \] Отсюда находим необходимую силу трения: \[ F_{тр} = 1,4Q = 1,4 \cdot 36 = 50,4 \text{ кН} \] 2. Сила трения связана с нормальной силой прижатия колодки \(N\) законом Кулона: \[ F_{тр} = f \cdot N \Rightarrow N = \frac{F_{тр}}{f} \] При \(f = 0,3\): \[ N = \frac{50,4}{0,3} = 168 \text{ кН} \] 3. Рассмотрим равновесие рычага \(AB\). На рычаг действуют: сила \(P\), реакции в шарнире \(A\) (\(X_A, Y_A\)), сила нормального давления \(N\) и сила трения \(F_{тр}\) (направлена вверх, так как барабан стремится вращаться по часовой стрелке под действием \(Q\)). Составим уравнение моментов относительно точки \(A\): \[ \sum M_A = 0 \] \[ P \cdot \sin(\alpha) \cdot (a+b) - N \cdot a + F_{тр} \cdot e = 0 \] Выразим \(P\): \[ P = \frac{N \cdot a - F_{тр} \cdot e}{(a+b) \cdot \sin(\alpha)} \] Подставим значения: \[ P = \frac{168 \cdot 0,4 - 50,4 \cdot 0,05}{(0,4 + 0,8) \cdot \sin(75^{\circ})} \] \[ \sin(75^{\circ}) \approx 0,966 \] \[ P = \frac{67,2 - 2,52}{1,2 \cdot 0,966} = \frac{64,68}{1,1592} \approx 55,8 \text{ кН} \] 4. Определение реакций опор. Для рычага \(A\): \[ \sum X = 0 \Rightarrow X_A + N - P \cdot \sin(\alpha) = 0 \] \[ X_A = 55,8 \cdot 0,966 - 168 = 53,9 - 168 = -114,1 \text{ кН} \] \[ \sum Y = 0 \Rightarrow Y_A + F_{тр} - P \cdot \cos(\alpha) = 0 \] \[ \cos(75^{\circ}) \approx 0,259 \] \[ Y_A = 55,8 \cdot 0,259 - 50,4 = 14,45 - 50,4 = -35,95 \text{ кН} \] Для опоры барабана \(O\): \[ \sum X = 0 \Rightarrow X_O - N = 0 \Rightarrow X_O = 168 \text{ кН} \] \[ \sum Y = 0 \Rightarrow Y_O - G - Q - F_{тр} = 0 \] \[ Y_O = 10 + 36 + 50,4 = 96,4 \text{ кН} \] Ответ: \(P \approx 55,8\) кН; реакции в \(A\): \(X_A = -114,1\) кН, \(Y_A = -35,95\) кН; реакции в \(O\): \(X_O = 168\) кН, \(Y_O = 96,4\) кН.