schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи: Определение минимальной силы P и реакций опор
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Определить минимальное значение силы Р и реакции опор механической системыв указанных точках при ее равновесии.
lightbulbКраткий ответ
Найдено минимальное значение силы P и реакции опор механической системы в состоянии равновесия. Решение включает в себя анализ сил трения и моментов.
Подробное решение
Задача №3. Определение минимальной силы P и реакций опор.
Дано:
\(a = 0,4\) м;
\(b = 0,8\) м;
\(R = 0,2\) м;
\(e = 0,05\) м;
\(\alpha = 75^{\circ}\);
\(G = 10\) кН;
\(Q = 36\) кН;
\(f = 0,4\) (коэффициент трения, принимаем стандартное значение для таких задач, если не указано иное).
Решение:
1. Рассмотрим равновесие тормозного барабана (точка O).
На барабан действует момент от веса груза \(Q\) и тормозной момент от силы трения \(F_{тр}\).
Радиус приложения силы \(Q\) равен \(1,4R\).
Условие равновесия моментов относительно точки O:
\[ \sum M_O = 0 \Rightarrow Q \cdot 1,4R - F_{тр} \cdot R = 0 \]
Отсюда находим необходимую силу трения:
\[ F_{тр} = 1,4 \cdot Q = 1,4 \cdot 36 = 50,4 \text{ кН} \]
2. Определим нормальную силу прижатия колодки \(N\).
По закону Амонтона-Кулона:
\[ F_{тр} = f \cdot N \Rightarrow N = \frac{F_{тр}}{f} \]
При \(f = 0,4\):
\[ N = \frac{50,4}{0,4} = 126 \text{ кН} \]
3. Рассмотрим равновесие рычага AB относительно шарнира A.
На рычаг действуют: сила \(P\), нормальная реакция \(N\) и сила трения \(F_{тр}\) (направлена вверх, так как барабан стремится вращаться по часовой стрелке под действием груза \(Q\)).
Плечо силы \(N\) равно \(a\). Плечо силы \(F_{тр}\) равно \(e\).
Плечо силы \(P\): по горизонтали \( (a+b) \cdot \text{tg}(90-\alpha) \) или через синус/косинус. Проще разложить \(P\) на компоненты:
\(P_x = P \cdot \sin \alpha\), \(P_y = P \cdot \cos \alpha\).
Уравнение моментов относительно точки A:
\[ \sum M_A = 0 \Rightarrow P \cdot \sin \alpha \cdot (a+b) - N \cdot a + F_{тр} \cdot e = 0 \]
Выразим \(P\):
\[ P = \frac{N \cdot a - F_{тр} \cdot e}{(a+b) \cdot \sin \alpha} \]
Подставим значения:
\[ P = \frac{126 \cdot 0,4 - 50,4 \cdot 0,05}{(0,4 + 0,8) \cdot \sin 75^{\circ}} \]
\[ P = \frac{50,4 - 2,52}{1,2 \cdot 0,966} = \frac{47,88}{1,159} \approx 41,31 \text{ кН} \]
4. Определение реакций опор.
Для шарнира A (рычаг):
\[ \sum F_x = X_A + N - P \cdot \sin \alpha = 0 \Rightarrow X_A = P \cdot \sin \alpha - N \]
\[ X_A = 41,31 \cdot 0,966 - 126 = 39,9 - 126 = -86,1 \text{ кН} \]
\[ \sum F_y = Y_A + F_{тр} - P \cdot \cos \alpha = 0 \Rightarrow Y_A = P \cdot \cos \alpha - F_{тр} \]
\[ Y_A = 41,31 \cdot 0,259 - 50,4 = 10,7 - 50,4 = -39,7 \text{ кН} \]
Для шарнира O (барабан):
\[ \sum F_x = X_O - N = 0 \Rightarrow X_O = N = 126 \text{ кН} \]
\[ \sum F_y = Y_O - F_{тр} - G - Q = 0 \Rightarrow Y_O = F_{тр} + G + Q \]
\[ Y_O = 50,4 + 10 + 36 = 96,4 \text{ кН} \]
Ответ: \(P \approx 41,31\) кН; \(X_A = -86,1\) кН; \(Y_A = -39,7\) кН; \(X_O = 126\) кН; \(Y_O = 96,4\) кН.