Решение задачи №30: Определение напряжения в стержнях

Задача №30 Дано: \(l = 1 \, \text{м}\) \(a = 1 \, \text{м}\) \(\alpha = 10^{-5} \, \text{град}^{-1}\) \(A = 1 \, \text{см}^2 = 10^{-4} \, \text{м}^2\) \(E = 2 \cdot 10^5 \, \text{МПа} = 2 \cdot 10^{11} \, \text{Па}\) \(\Delta t = -10^{\circ}\text{C}\) (охлаждение) Найти: \(\sigma_1, \sigma_2\) Решение: 1. Статическая сторона задачи. Рассмотрим равновесие жесткой балки. Обозначим усилие в левом стержне (площадь \(2A\)) как \(N_1\), а в правом стержне (площадь \(A\)) как \(N_2\). Предположим, что оба стержня растянуты. Составим уравнение моментов относительно шарнирной опоры балки: \[ \sum M_O = 0 \] \[ N_1 \cdot a - N_2 \cdot 2a = 0 \] Отсюда получаем соотношение усилий: \[ N_1 = 2N_2 \] 2. Геометрическая сторона задачи (уравнение совместности деформаций). При повороте жесткой балки на малый угол деформации стержней \(\Delta l_1\) и \(\Delta l_2\) связаны соотношением подобия треугольников: \[ \frac{\Delta l_1}{a} = \frac{\Delta l_2}{2a} \implies \Delta l_2 = 2\Delta l_1 \] 3. Физическая сторона задачи. Полная деформация каждого стержня складывается из силовой и температурной составляющих: \[ \Delta l_1 = \frac{N_1 \cdot l}{E \cdot (2A)} \] (левый стержень не нагревается) \[ \Delta l_2 = \frac{N_2 \cdot l}{E \cdot A} + \alpha \cdot \Delta t \cdot l \] (правый стержень охлаждается) Подставим физические выражения в геометрическое уравнение: \[ \frac{N_2 \cdot l}{EA} + \alpha \cdot \Delta t \cdot l = 2 \cdot \frac{N_1 \cdot l}{2EA} \] \[ \frac{N_2 \cdot l}{EA} + \alpha \cdot \Delta t \cdot l = \frac{N_1 \cdot l}{EA} \] Сократим на \( \frac{l}{EA} \): \[ N_2 + \alpha \cdot \Delta t \cdot E \cdot A = N_1 \] 4. Решение системы уравнений. Подставим \( N_1 = 2N_2 \) в полученное уравнение: \[ N_2 + \alpha \cdot \Delta t \cdot E \cdot A = 2N_2 \] \[ N_2 = \alpha \cdot \Delta t \cdot E \cdot A \] Вычислим значение \(N_2\): \[ N_2 = 10^{-5} \cdot (-10) \cdot 2 \cdot 10^{11} \cdot 10^{-4} = -2000 \, \text{Н} = -2 \, \text{кН} \] Знак минус означает, что стержень на самом деле сжат. Найдем усилие в первом стержне: \[ N_1 = 2 \cdot N_2 = 2 \cdot (-2000) = -4000 \, \text{Н} = -4 \, \text{кН} \] 5. Определение напряжений. Напряжение в левом стержне: \[ \sigma_1 = \frac{N_1}{2A} = \frac{-4000}{2 \cdot 10^{-4}} = -20 \cdot 10^6 \, \text{Па} = -20 \, \text{МПа} \] Напряжение в правом стержне: \[ \sigma_2 = \frac{N_2}{A} = \frac{-2000}{10^{-4}} = -20 \cdot 10^6 \, \text{Па} = -20 \, \text{МПа} \] Ответ: \(\sigma_1 = -20 \, \text{МПа}\), \(\sigma_2 = -20 \, \text{МПа}\) (оба стержня испытывают сжатие).