Решение задачи: Определение реакций опор плиты

Дано: Прямоугольная плита \(ABCD\) закреплена в точках \(A\) и \(B\) с помощью цилиндрических шарниров. Плита удерживается в равновесии тросом, прикрепленным в точке \(D\). Вес плиты: \(G = 20\) кН (приложен в центре тяжести). Внешняя сила в точке \(D\): \(F = 30\) кН (направлена вертикально вниз). Угол наклона троса к плоскости плиты: \(\alpha = 30^{\circ}\). Найти: Реакции опор \(A\) и \(B\), натяжение троса \(T\). Решение: 1. Выберем систему координат. Пусть ось \(x\) направлена вдоль стороны \(AB\), ось \(y\) — вдоль стороны \(AD\), а ось \(z\) — вертикально вверх. Для упрощения примем, что плита расположена горизонтально. 2. Обозначим размеры плиты: \(AB = CD = a\), \(AD = BC = b\). Центр тяжести плиты находится в точке с координатами \((\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0)\). 3. Составим уравнения равновесия моментов сил относительно осей. Сумма моментов относительно оси \(x\) (проходит через \(A\) и \(B\)): \[ \sum M_x = 0 \] \[ T \cdot \sin(30^{\circ}) \cdot b - G \cdot \frac{b}{2} - F \cdot b = 0 \] Подставим значения: \[ T \cdot 0,5 \cdot b - 20 \cdot 0,5 \cdot b - 30 \cdot b = 0 \] Разделим на \(b\) (так как \(b \neq 0\)): \[ 0,5 \cdot T - 10 - 30 = 0 \] \[ 0,5 \cdot T = 40 \] \[ T = 80 \text{ кН} \] 4. Сумма моментов относительно оси \(y\) (проходит через \(A\) и \(D\)): \[ \sum M_y = 0 \] \[ R_{Bz} \cdot a - G \cdot \frac{a}{2} = 0 \] \[ R_{Bz} \cdot a - 20 \cdot 0,5 \cdot a = 0 \] \[ R_{Bz} = 10 \text{ кН} \] 5. Сумма сил на вертикальную ось \(z\): \[ \sum F_z = 0 \] \[ R_{Az} + R_{Bz} + T \cdot \sin(30^{\circ}) - G - F = 0 \] \[ R_{Az} + 10 + 80 \cdot 0,5 - 20 - 30 = 0 \] \[ R_{Az} + 10 + 40 - 50 = 0 \] \[ R_{Az} = 0 \text{ кН} \] 6. Рассмотрим силы вдоль осей \(x\) и \(y\). Так как трос тянет точку \(D\) под углом, возникает горизонтальная составляющая \(T \cdot \cos(30^{\circ})\). Если предположить, что трос лежит в плоскости, перпендикулярной \(AB\), то: \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - T \cdot \cos(30^{\circ}) = 0 \] Обычно в таких задачах один из шарниров (например, \(A\)) считается упорным, принимающим осевую нагрузку, а другой — только радиальную. Если \(AB\) — ось \(x\), то \(R_{Ax}\) будет уравновешивать осевые сдвиги, если они есть. В данной схеме основные реакции сосредоточены в вертикальной плоскости. Ответ: Натяжение троса \(T = 80\) кН. Вертикальная реакция в опоре \(B\): \(R_{Bz} = 10\) кН. Вертикальная реакция в опоре \(A\): \(R_{Az} = 0\) кН.