Решение задачи: Определение реакций опор

Задача: Определение реакций опор составной конструкции. Дано: \(q = 4 \, \text{кН/м}\) \(F = 10 \, \text{кН}\) \(\alpha = 45^{\circ}\) \(\beta = 60^{\circ}\) Размеры указаны на схеме. Решение: 1. Подготовительный этап. Рассчитаем длину наклонного стержня \(AC\). Так как горизонтальная проекция не задана явно, но видна геометрия, определим высоту точки \(C\). Из чертежа следует, что высота точки \(C\) над уровнем опор равна \(3 \, \text{м}\). Тогда длина \(L_{AC}\): \[L_{AC} = \frac{3}{\sin(45^{\circ})} = \frac{3}{\sqrt{2}/2} = 3\sqrt{2} \approx 4,24 \, \text{м}\] Равнодействующая распределенной нагрузки \(Q\): \[Q = q \cdot L_{AC} = 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \approx 16,97 \, \text{кН}\] Сила \(Q\) приложена в середине \(AC\) и направлена перпендикулярно стержню. 2. Разложим силу \(F = 10 \, \text{кН}\) на составляющие: \[F_x = F \cdot \sin(60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8,66 \, \text{кН}\] \[F_y = F \cdot \cos(60^{\circ}) = 10 \cdot 0,5 = 5 \, \text{кН}\] 3. Составим уравнения равновесия для всей конструкции. Опоры \(A\) и \(B\) — шарнирно-неподвижные (судя по обозначению, хотя обычно в таких задачах одна опора подвижная, решим для общего случая системы с внутренним шарниром \(C\)). Разделим систему на две части по шарниру \(C\). Рассмотрим правую часть (стержень с изломом от \(C\) до \(B\)): Точка \(B\) имеет реакции \(X_B\) и \(Y_B\). В шарнире \(C\) действуют \(X_C\) and \(Y_C\). Сумма моментов относительно \(C\) для правой части: \[\sum M_C = 0: Y_B \cdot 3 - X_B \cdot 3 + F_y \cdot 3 = 0\] \[3Y_B - 3X_B + 5 \cdot 3 = 0 \Rightarrow Y_B - X_B = -5 \quad (1)\] 4. Рассмотрим всю конструкцию в целом: Сумма моментов относительно точки \(A\): Горизонтальное расстояние от \(A\) до \(B\) равно проекции \(AC\) на горизонталь (\(3 \, \text{м}\)) плюс \(3 \, \text{м}\), итого \(6 \, \text{м}\). \[\sum M_A = 0: Y_B \cdot 6 - Q \cdot \frac{L_{AC}}{2} + F_y \cdot 6 - F_x \cdot 3 = 0\] Подставим значения: \[6Y_B - 16,97 \cdot 2,12 + 5 \cdot 6 - 8,66 \cdot 3 = 0\] \[6Y_B - 36 + 30 - 25,98 = 0\] \[6Y_B = 31,98 \Rightarrow Y_B \approx 5,33 \, \text{кН}\] 5. Из уравнения (1) найдем \(X_B\): \[X_B = Y_B + 5 = 5,33 + 5 = 10,33 \, \text{кН}\] 6. Найдем реакции в опоре \(A\): \[\sum F_x = 0: X_A + X_B + F_x - Q \cdot \sin(45^{\circ}) = 0\] \[X_A + 10,33 + 8,66 - 16,97 \cdot 0,707 = 0\] \[X_A + 18,99 - 12 = 0 \Rightarrow X_A = -6,99 \, \text{кН}\] (Знак минус означает, что реакция направлена влево). \[\sum F_y = 0: Y_A + Y_B + F_y - Q \cdot \cos(45^{\circ}) = 0\] \[Y_A + 5,33 + 5 - 12 = 0\] \[Y_A + 10,33 - 12 = 0 \Rightarrow Y_A = 1,67 \, \text{кН}\] Ответ: Реакции в опоре \(A\): \(X_A \approx -6,99 \, \text{кН}\), \(Y_A \approx 1,67 \, \text{кН}\). Реакции в опоре \(B\): \(X_B \approx 10,33 \, \text{кН}\), \(Y_B \approx 5,33 \, \text{кН}\).