Решение задачи: Определение реакций опор рамы

Дано: Рама состоит из двух стержней, соединенных шарниром \(C\). Распределенная нагрузка на стержне \(AC\): \(q = 4\) кН/м. Угол наклона стержня \(AC\): \(\alpha = 45^{\circ}\). Высота рамы: \(h = 3\) м. Сосредоточенная сила в правом верхнем узле: \(F = 10\) кН. Угол силы \(F\) к вертикали: \(\beta = 60^{\circ}\). Длина горизонтального участка: \(L = 3\) м. Найти: Реакции опор \(A\) и \(B\). Решение: 1. Определим геометрические параметры и силы. Длина стержня \(AC\): \[ l_{AC} = \frac{h}{\sin(45^{\circ})} = \frac{3}{\sqrt{2}/2} = 3\sqrt{2} \approx 4,24 \text{ м} \] Равнодействующая распределенной нагрузки \(Q\): \[ Q = q \cdot l_{AC} = 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \approx 16,97 \text{ кН} \] Сила \(Q\) приложена в середине \(AC\) и направлена перпендикулярно стержню. Проекции силы \(Q\): \[ Q_x = Q \cdot \sin(45^{\circ}) = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \text{ кН} \] \[ Q_y = -Q \cdot \cos(45^{\circ}) = -12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -12 \text{ кН} \] Проекции силы \(F\): \[ F_x = -F \cdot \sin(60^{\circ}) = -10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -8,66 \text{ кН} \] \[ F_y = -F \cdot \cos(60^{\circ}) = -10 \cdot 0,5 = -5 \text{ кН} \] 2. Определим плечи сил относительно опоры \(A\). Координаты точки \(B\): \(x_B = 3 \text{ (от проекции } C) + 3 \text{ (горизонталь)} = 6\) м, \(y_B = 0\). Точка приложения \(Q\): \(x_Q = 1,5\) м, \(y_Q = 1,5\) м. Точка приложения \(F\): \(x_F = 6\) м, \(y_F = 3\) м. 3. Составим уравнение моментов относительно точки \(A\) для всей рамы: \[ \sum M_A = 0 \] \[ R_{By} \cdot 6 + Q_y \cdot 1,5 - Q_x \cdot 1,5 + F_y \cdot 6 - F_x \cdot 3 = 0 \] Подставим значения: \[ R_{By} \cdot 6 - 12 \cdot 1,5 - 12 \cdot 1,5 - 5 \cdot 6 - (-8,66) \cdot 3 = 0 \] \[ 6 R_{By} - 18 - 18 - 30 + 25,98 = 0 \] \[ 6 R_{By} - 40,02 = 0 \Rightarrow R_{By} \approx 6,67 \text{ кН} \] 4. Рассмотрим правую часть рамы (стержень от \(C\) до \(B\)) относительно шарнира \(C\), чтобы найти \(R_{Bx}\). В шарнире \(C\) момент равен нулю. \[ \sum M_C^{прав} = 0 \] \[ R_{By} \cdot 3 - R_{Bx} \cdot 3 + F_y \cdot 3 - F_x \cdot 0 = 0 \] \[ 6,67 \cdot 3 - R_{Bx} \cdot 3 - 5 \cdot 3 = 0 \] Разделим на 3: \[ 6,67 - R_{Bx} - 5 = 0 \Rightarrow R_{Bx} = 1,67 \text{ кН} \] 5. Найдем реакции в опоре \(A\) из уравнений проекций сил для всей рамы: \[ \sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Ax} + Q_x + F_x + R_{Bx} = 0 \] \[ R_{Ax} + 12 - 8,66 + 1,67 = 0 \Rightarrow R_{Ax} = -5,01 \text{ кН} \] \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Ay} + Q_y + F_y + R_{By} = 0 \] \[ R_{Ay} - 12 - 5 + 6,67 = 0 \Rightarrow R_{Ay} = 10,33 \text{ кН} \] Ответ: Реакции в опоре \(A\): \(R_{Ax} = -5,01\) кН, \(R_{Ay} = 10,33\) кН. Реакции в опоре \(B\): \(R_{Bx} = 1,67\) кН, \(R_{By} = 6,67\) кН.