Определение реакций опор прямоугольной плиты

Задача: Определение реакций опор прямоугольной плиты. Дано: Вес плиты \(G = 20 \, \text{кН}\) Сила в точке \(D\): \(P = 30 \, \text{кН}\) Угол наклона плиты к горизонту: \(\alpha = 30^{\circ}\) Опоры \(A\) и \(B\) — цилиндрические шарниры (подшипники), расположенные на вертикальных осях. Решение: 1. Анализ связей и сил. Плита \(ABCD\) удерживается шарнирами в точках \(A\) и \(B\). В таких задачах обычно предполагается, что плита прямоугольная. Сила тяжести \(G\) приложена в центре масс (пересечение диагоналей). Сила \(P\) приложена в вершине \(D\). Реакции в цилиндрических шарнирах \(A\) и \(B\) имеют по две составляющие, перпендикулярные оси вращения (в плоскости плиты и перпендикулярно ей). Однако, учитывая статическую определимость школьных задач, рассмотрим проекции на вертикальную и горизонтальные оси. 2. Введем систему координат: Пусть ось \(z\) направлена вертикально вверх, ось \(x\) вдоль стороны \(AB\), ось \(y\) перпендикулярно \(AB\) в горизонтальной плоскости. Так как плита наклонена под углом \(30^{\circ}\) к горизонту, плечи сил будут зависеть от этого угла. Обозначим сторону \(AD = BC = a\), сторону \(AB = CD = b\). 3. Составим уравнение моментов относительно оси \(AB\): Это позволит найти связь между внешними силами и углом, но так как угол задан, мы проверяем равновесие моментов сил, стремящихся "повернуть" плиту вокруг оси \(AB\). Плечо силы \(P\) относительно оси \(AB\) равно \(a \cdot \cos(30^{\circ})\). Плечо силы \(G\) относительно оси \(AB\) равно \(\frac{a}{2} \cdot \cos(30^{\circ})\). Поскольку обе силы тянут вниз, для равновесия в данной схеме (если нет других опор или тросов) система должна быть закреплена жестко в шарнирах или иметь дополнительную связь. На схеме изображены шарниры, которые препятствуют перемещению. 4. Определение вертикальных реакций \(Z_A\) и \(Z_B\): Сумма моментов относительно оси, проходящей через \(A\) перпендикулярно \(AB\): \[\sum M_{A(y)} = 0: Z_B \cdot b - G \cdot \frac{b}{2} = 0\] Откуда: \[Z_B = \frac{G}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{кН}\] Сумма сил на вертикальную ось \(z\): \[\sum F_z = 0: Z_A + Z_B - G - P = 0\] \[Z_A + 10 - 20 - 30 = 0\] \[Z_A = 40 \, \text{кН}\] 5. Определение горизонтальных реакций: В цилиндрических шарнирах также возникают горизонтальные реакции \(X_A, Y_A, X_B, Y_B\), которые уравновешивают моменты от внецентренного приложения вертикальных сил. Момент от сил \(P\) и \(G\) относительно оси \(AB\): \[M_{AB} = P \cdot a \cos(30^{\circ}) + G \cdot \frac{a}{2} \cos(30^{\circ})\] Этот момент должен уравновешиваться реакциями опор, если они не дают плите вращаться. Если же плита просто "лежит" в шарнирах и удерживается только ими, то в шарнирах возникают пары сил. Обычно в таких задачах требуется найти именно вертикальные составляющие реакций, так как для полных горизонтальных реакций недостаточно данных о геометрических размерах \(a\) и \(b\). Ответ: Вертикальные составляющие реакций опор: \[Z_A = 40 \, \text{кН}\] \[Z_B = 10 \, \text{кН}\]