Давайте разберем задачу по шагам и выясним, откуда могло взяться число 23/5.
Задача состоит из нескольких частей:
1. Построить график функции \(f(x) = -x+1\) на интервале \((0, 4)\) и периодически продолжить её на интервал \((-4, 8)\) с периодом \(T=4\).
2. Разложить функцию \(f(x)\) в ряд Фурье.
3. Вычислить значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\).
1. Построение графика функции
Функция задана как \(f(x) = -x+1\) на интервале \((0, 4)\).
Найдем значения функции на концах интервала:
При \(x \to 0^+\), \(f(x) \to -0+1 = 1\).
При \(x \to 4^-\), \(f(x) \to -4+1 = -3\).
Таким образом, на интервале \((0, 4)\) функция представляет собой прямую линию, идущую от точки \((0, 1)\) до точки \((4, -3)\).
Функция является периодической с периодом \(T=4\). Это означает, что \(f(x+T) = f(x)\).
Нам нужно построить график на интервале \((-4, 8)\).
Интервал \((-4, 8)\) включает в себя три периода:
* \((-4, 0)\)
* \((0, 4)\)
* \((4, 8)\)
Используя периодичность, мы можем определить функцию на других интервалах:
* На интервале \((-4, 0)\):
Для \(x \in (-4, 0)\), \(x+4 \in (0, 4)\).
Тогда \(f(x) = f(x+4) = -(x+4)+1 = -x-4+1 = -x-3\).
При \(x \to -4^+\), \(f(x) \to -(-4)-3 = 4-3 = 1\).
При \(x \to 0^-\), \(f(x) \to -0-3 = -3\).
Таким образом, на интервале \((-4, 0)\) функция идет от \((-4, 1)\) до \((0, -3)\).
* На интервале \((4, 8)\):
Для \(x \in (4, 8)\), \(x-4 \in (0, 4)\).
Тогда \(f(x) = f(x-4) = -(x-4)+1 = -x+4+1 = -x+5\).
При \(x \to 4^+\), \(f(x) \to -4+5 = 1\).
При \(x \to 8^-\), \(f(x) \to -8+5 = -3\).
Таким образом, на интервале \((4, 8)\) функция идет от \((4, 1)\) до \((8, -3)\).
График будет выглядеть как набор убывающих прямых линий. В точках \(x=0, 4, 8, \dots\) и \(x=-4, \dots\) будут разрывы.
Например, в точке \(x=0\):
Предел слева: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -3\).
Предел справа: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1\).
2. Разложение функции в ряд Фурье
Функция \(f(x)\) задана на интервале \((0, 4)\) с периодом \(T=4\).
Длина интервала \(2L = T = 4\), значит \(L = 2\).
Ряд Фурье для функции с периодом \(2L\) имеет вид:
\[S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)\]
В нашем случае \(L=2\), поэтому:
\[S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
Вычислим коэффициенты Фурье:
\[a_0 = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) dx\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{4^2}{2} + 4\right) - \left(-\frac{0^2}{2} + 0\right) \right)\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left( -\frac{16}{2} + 4 \right) = \frac{1}{2} (-8 + 4) = \frac{1}{2} (-4) = -2\]
\[a_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
Для вычисления этого интеграла используем интегрирование по частям \(\int u dv = uv - \int v du\).
Пусть \(u = -x+1\), \(du = -dx\).
Пусть \(dv = \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\), \(v = \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\).
\[\int (-x+1) \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \int \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) (-dx)\]
\[= (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{2}{n\pi} \int \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
\[= (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{2}{n\pi} \left( -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
\[= (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 4:
\[a_n = \frac{1}{2} \left[ (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
Заметим, что \(\sin\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) = \sin(2n\pi) = 0\) и \(\sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) = \sin(0) = 0\).
Также \(\cos\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) = \cos(2n\pi) = 1\) и \(\cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) = \cos(0) = 1\).
\[a_n = \frac{1}{2} \left( \left( ((-4+1) \frac{2}{n\pi} \cdot 0) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cdot 1 \right) - \left( ((0+1) \frac{2}{n\pi} \cdot 0) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cdot 1 \right) \right)\]
\[a_n = \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{(n\pi)^2} - \left( -\frac{4}{(n\pi)^2} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{(n\pi)^2} + \frac{4}{(n\pi)^2} \right) = 0\]
Таким образом, все \(a_n = 0\) для \(n \ge 1\).
\[b_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
Снова интегрирование по частям.
Пусть \(u = -x+1\), \(du = -dx\).
Пусть \(dv = \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\), \(v = -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\).
\[\int (-x+1) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = (-x+1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right) - \int \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right) (-dx)\]
\[= -(-x+1) \frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{2}{n\pi} \int \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
\[= -(-x+1) \frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{2}{n\pi} \left( \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
\[= -(-x+1) \frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 4:
\[b_n = \frac{1}{2} \left[ -(-x+1) \frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
Заметим, что \(\sin\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) = \sin(2n\pi) = 0\) и \(\sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) = \sin(0) = 0\).
Также \(\cos\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) = \cos(2n\pi) = 1\) и \(\cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) = \cos(0) = 1\).
\[b_n = \frac{1}{2} \left( \left( -(-4+1) \frac{2}{n\pi} \cdot 1 - 0 \right) - \left( -(0+1) \frac{2}{n\pi} \cdot 1 - 0 \right) \right)\]
\[b_n = \frac{1}{2} \left( -(-3) \frac{2}{n\pi} - (-1) \frac{2}{n\pi} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{6}{n\pi} + \frac{2}{n\pi} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{n\pi} \right) = \frac{4}{n\pi}\]
Итак, коэффициенты Фурье:
\(a_0 = -2\)
\(a_n = 0\) для \(n \ge 1\)
\(b_n = \frac{4}{n\pi}\) для \(n \ge 1\)
Ряд Фурье для функции \(f(x)\) имеет вид:
\[S(x) = \frac{-2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( 0 \cdot \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{4}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
\[S(x) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
\[S(x) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
3. Вычисление значения суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\)
Согласно теореме Дирихле, в точках разрыва периодической функции сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа в этой точке.
Точка \(x=4\) является точкой разрыва для нашей функции.
Найдем пределы функции в точке \(x=4\):
Предел слева: \(\lim_{x \to 4^-} f(x)\). Поскольку \(x \in (0, 4)\) для \(x \to 4^-\), используем \(f(x) = -x+1\).
\(\lim_{x \to 4^-} f(x) = -4+1 = -3\).
Предел справа: \(\lim_{x \to 4^+} f(x)\). Поскольку \(x \in (4, 8)\) для \(x \to 4^+\), используем \(f(x) = -x+5\).
\(\lim_{x \to 4^+} f(x) = -4+5 = 1\).
Сумма ряда \(S(4)\) в точке разрыва \(x=4\) равна:
\[S(4) = \frac{\lim_{x \to 4^-} f(x) + \lim_{x \to 4^+} f(x)}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
Откуда могло взяться число 23/5?
Исходя из проведенных расчетов, значение суммы ряда \(S(4)\) равно \(-1\).
Число 23/5 (что равно 4.6) не появляется в ходе стандартного разложения в ряд Фурье и вычисления суммы ряда в точке разрыва для данной функции.
Возможные причины появления 23/5 в чужом решении:
1. Ошибка в условии задачи: Возможно, функция \(f(x)\) была другой, или интервал, или период, или точка, в которой нужно было вычислить сумму ряда.
2. Ошибка в расчетах: В чужом решении могли быть допущены арифметические или методологические ошибки при вычислении коэффициентов Фурье или при применении теоремы Дирихле.
3. Другой тип ряда: Возможно, речь шла не о стандартном ряде Фурье, а о каком-то другом разложении или модификации.
4. Ошибка в интерпретации: Возможно, 23/5 относится к какой-то промежуточной величине или к другой части задачи, не связанной напрямую с \(S(4)\).
Если вы можете предоставить контекст, в котором появилось 23/5 (например, часть чужого решения), я смогу более точно определить, откуда оно взялось. Но для данной задачи и условий, ответ для \(S(4)\) должен быть \(-1\).
Краткое изложение для тетради:
Задача 3.
Дана функция \(f(x) = -x+1\), \(x \in (0, 4)\), с периодом \(T=4\).
Требуется:
1. Построить график функции на интервале \((-4, 8)\).
2. Разложить функцию в ряд Фурье.
3. Вычислить значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\).
1. Построение графика функции
Функция \(f(x) = -x+1\) на интервале \((0, 4)\).
* При \(x \to 0^+\), \(f(x) \to 1\).
* При \(x \to 4^-\), \(f(x) \to -3\).
График на \((0, 4)\) - прямая линия от \((0, 1)\) до \((4, -3)\).
Используем периодичность \(T=4\):
* На интервале \((-4, 0)\): \(f(x) = f(x+4) = -(x+4)+1 = -x-3\).
* При \(x \to -4^+\), \(f(x) \to 1\).
* При \(x \to 0^-\), \(f(x) \to -3\).
График на \((-4, 0)\) - прямая линия от \((-4, 1)\) до \((0, -3)\).
* На интервале \((4, 8)\): \(f(x) = f(x-4) = -(x-4)+1 = -x+5\).
* При \(x \to 4^+\), \(f(x) \to 1\).
* При \(x \to 8^-\), \(f(x) \to -3\).
График на \((4, 8)\) - прямая линия от \((4, 1)\) до \((8, -3)\).
График состоит из повторяющихся отрезков прямых линий, с разрывами в точках \(x = \dots, -4, 0, 4, 8, \dots\).
2. Разложение функции в ряд Фурье
Период \(T=4\), значит \(2L=4\), откуда \(L=2\).
Формула ряда Фурье:
\[S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)\]
Подставляем \(L=2\):
\[S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
Вычисляем коэффициенты:
\[a_0 = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) dx\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{4^2}{2} + 4\right) - 0 \right) = \frac{1}{2} (-8 + 4) = \frac{1}{2} (-4) = -2\]
\[a_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
Используя интегрирование по частям, получаем:
\[a_n = \frac{1}{2} \left[ (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
Подставляя пределы, учитывая \(\sin(k\pi)=0\) и \(\cos(2k\pi)=1\), \(\cos(0)=1\):
\[a_n = \frac{1}{2} \left( \left( 0 - \frac{4}{(n\pi)^2} \cdot 1 \right) - \left( 0 - \frac{4}{(n\pi)^2} \cdot 1 \right) \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{(n\pi)^2} + \frac{4}{(n\pi)^2} \right) = 0\]
\[b_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
Используя интегрирование по частям, получаем:
\[b_n = \frac{1}{2} \left[ -(-x+1) \frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) - \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
Подставляя пределы, учитывая \(\sin(k\pi)=0\) и \(\cos(2k\pi)=1\), \(\cos(0)=1\):
\[b_n = \frac{1}{2} \left( \left( -(-4+1) \frac{2}{n\pi} \cdot 1 - 0 \right) - \left( -(0+1) \frac{2}{n\pi} \cdot 1 - 0 \right) \right)\]
\[b_n = \frac{1}{2} \left( -(-3) \frac{2}{n\pi} - (-1) \frac{2}{n\pi} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{6}{n\pi} + \frac{2}{n\pi} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{n\pi} \right) = \frac{4}{n\pi}\]
Ряд Фурье:
\[S(x) = \frac{-2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( 0 \cdot \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{4}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
\[S(x) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
3. Вычисление значения суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\)
Точка \(x=4\) является точкой разрыва функции.
Согласно теореме Дирихле, в точке разрыва \(x_0\) сумма ряда Фурье \(S(x_0)\) равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа:
\[S(x_0) = \frac{\lim_{x \to x_0^-} f(x) + \lim_{x \to x_0^+} f(x)}{2}\]
Для \(x=4\):
Предел слева: \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} (-x+1) = -4+1 = -3\).
Предел справа: \(\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (-x+5) = -4+5 = 1\).
(Функция \(f(x)\) на интервале \((4, 8)\) определяется как \(f(x-4)\), то есть \(f(x) = -(x-4)+1 = -x+5\)).
\[S(4) = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
Ответ на вопрос о 23/5:
В ходе решения данной задачи значение суммы ряда \(S(4)\) получилось \(-1\). Число 23/5 (или 4.6) не возникает при корректном решении этой задачи. Вероятно, в чужом решении, которое вы видели, была допущена ошибка в условии, в расчетах или в интерпретации задачи.
