Объяснение: Откуда 23/5 в Решении Задачи?

Хорошо, давайте объясним, почему в предыдущем примере могло появиться значение \(\frac{23}{5}\), основываясь на условии задачи, которое вы предоставили. Задача 3 гласит: "Построить график функции \(f(x)\) на интервале \((-4, 8)\), если \(f(x) = -x+1\), \(x \in (0, 4)\), \(T=4\). Разложить функцию \(f(x)\) в ряд Фурье, вычислить значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\)." Давайте разберем ключевые моменты: 1. **Определение функции:** Функция \(f(x) = -x+1\) задана на интервале \((0, 4)\). 2. **Период \(T=4\):** Это означает, что функция \(f(x)\) является периодической с периодом \(T=4\). То есть, \(f(x+4) = f(x)\) для всех \(x\). 3. **Сумма ряда Фурье \(S(x)\):** Ряд Фурье \(S(x)\) сходится к функции \(f(x)\) в точках непрерывности. В точках разрыва, сумма ряда Фурье сходится к среднему арифметическому пределов функции слева и справа. \[S(x) = \frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}\] 4. **Вычислить значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\):** Точка \(x=4\) является концом интервала \((0, 4)\), на котором задана функция. Из-за периодичности, в точке \(x=4\) функция имеет разрыв. * Предел функции слева от \(x=4\): \[f(4^-) = \lim_{x \to 4^-} (-x+1) = -4+1 = -3\] * Предел функции справа от \(x=4\): Из-за периодичности с периодом \(T=4\), значение функции справа от \(x=4\) будет таким же, как значение функции справа от \(x=0\). \[f(4^+) = f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (-x+1) = -0+1 = 1\] * Сумма ряда Фурье в точке \(x=4\): \[S(4) = \frac{f(4^-) + f(4^+)}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Теперь вернемся к предыдущему изображению: \[S\left(\frac{23}{5}\right) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{\pi n} \sin\left(\frac{23\pi n}{10}\right)\] \[= F\left(\frac{23}{5} - 4\right) = -\frac{3}{5} + 1 = \frac{2}{5}\] Мы видим, что в предыдущем примере вычислялось \(S\left(\frac{23}{5}\right)\). Значение \(\frac{23}{5}\) - это просто конкретная точка, для которой вычисляется сумма ряда. Давайте посмотрим, как это значение \(\frac{23}{5}\) соотносится с функцией \(f(x) = -x+1\) и её периодическим продолжением. Мы знаем, что функция \(f(x)\) имеет период \(T=4\). Значит, \(S(x) = S(x - k \cdot T)\) для любого целого \(k\). В нашем случае, \(x = \frac{23}{5}\). \[\frac{23}{5} = 4.6\] Это значение находится вне основного интервала \((0, 4)\). Мы можем привести его к основному интервалу, вычитая период \(T=4\): \[\frac{23}{5} - 4 = \frac{23}{5} - \frac{20}{5} = \frac{3}{5}\] Таким образом, \(S\left(\frac{23}{5}\right) = S\left(\frac{3}{5}\right)\). Теперь нам нужно найти значение \(S\left(\frac{3}{5}\right)\). Точка \(x = \frac{3}{5}\) находится внутри интервала \((0, 4)\), и в этой точке функция \(f(x) = -x+1\) непрерывна. Следовательно, \(S\left(\frac{3}{5}\right) = f\left(\frac{3}{5}\right)\). \[f\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5} + 1 = \frac{2}{5}\] Это полностью совпадает с результатом, полученным на предыдущем изображении: \[F\left(\frac{23}{5} - 4\right) = -\frac{3}{5} + 1 = \frac{2}{5}\] Здесь \(F\) - это обозначение для суммы ряда Фурье \(S(x)\). **Вывод:** Значение \(\frac{23}{5}\) появилось как аргумент для вычисления суммы ряда Фурье \(S(x)\). Это значение было выбрано, чтобы продемонстрировать свойство периодичности ряда Фурье, когда аргумент приводится к основному интервалу путем вычитания периода. В данном случае, \(\frac{23}{5}\) приводится к \(\frac{3}{5}\) (поскольку \(\frac{23}{5} - 4 = \frac{3}{5}\)), и затем вычисляется значение функции \(f(x) = -x+1\) в точке \(\frac{3}{5}\).