Объяснение: Почему в решении 23/5?

Хорошо, давайте кратко объясним решение, представленное на изображении. Задача состоит в том, чтобы разложить функцию \(f(x) = 4\cos^2 3x \cos 9x\) в ряд Фурье (или, по крайней мере, представить её в виде суммы косинусов, что является частью ряда Фурье для четной функции) и затем определить некоторые коэффициенты. 1. **Исходная функция:** \[f(x) = 4\cos^2 3x \cos 9x\] 2. **Использование формулы понижения степени для \(\cos^2 \alpha\):** Известна тригонометрическая формула: \(\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\). Применяем её для \(\cos^2 3x\), где \(\alpha = 3x\), значит \(2\alpha = 6x\): \[\cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}\] 3. **Подстановка и упрощение:** Подставляем это выражение обратно в \(f(x)\): \[f(x) = 4 \left(\frac{1 + \cos 6x}{2}\right) \cos 9x\] Сокращаем 4 и 2: \[f(x) = 2 (1 + \cos 6x) \cos 9x\] Раскрываем скобки: \[f(x) = 2 \cos 9x + 2 \cos 6x \cos 9x\] 4. **Использование формулы произведения косинусов:** Известна тригонометрическая формула: \(\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]\). Применяем её для \(2 \cos 6x \cos 9x\), где \(A=6x\) и \(B=9x\): \[2 \cos 6x \cos 9x = 2 \cdot \frac{1}{2} [\cos(6x-9x) + \cos(6x+9x)]\] \[= \cos(-3x) + \cos(15x)\] Поскольку \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\): \[= \cos 3x + \cos 15x\] 5. **Окончательное выражение для \(f(x)\):** Подставляем это обратно в выражение для \(f(x)\): \[f(x) = 2 \cos 9x + \cos 3x + \cos 15x\] Перепишем в порядке возрастания аргументов: \[f(x) = \cos 3x + 2 \cos 9x + \cos 15x\] 6. **Определение коэффициентов Фурье:** Общий вид ряда Фурье для четной функции (или косинусного ряда Фурье) имеет вид: \[S(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\] В нашем случае, функция уже представлена в виде суммы косинусов. Мы можем сопоставить коэффициенты: * Коэффициент при \(\cos 3x\) равен 1. Значит, \(a_3 = 1\). * Коэффициент при \(\cos 9x\) равен 2. Значит, \(a_9 = 2\). * Коэффициент при \(\cos 15x\) равен 1. Значит, \(a_{15} = 1\). * Все коэффициенты \(b_n\) (при \(\sin nx\)) равны 0, так как функция является четной и в разложении нет синусов. В частности, \(b_3 = 0\) и \(b_9 = 0\). * Коэффициент \(a_0\) (свободный член) равен 0, так как нет постоянного слагаемого. 7. **Вычисление суммы \(a_3 + a_9 + b_3 + b_9\):** На изображении вычисляется сумма \(a_3 + a_9 + b_3 + b_9\). \[a_3 + a_9 + b_3 + b_9 = 1 + 2 + 0 + 0 = 3\] **Вывод:** Решение на изображении корректно преобразует исходную функцию \(f(x)\) в сумму косинусов, что позволяет легко определить коэффициенты Фурье \(a_3=1\) и \(a_9=2\). Коэффициенты \(b_3\) и \(b_9\) равны нулю, так как в разложении нет синусоидальных членов. Сумма этих коэффициентов равна 3.