Решение задачи о сбалансированном графе

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определение сбалансированного графа (согласно теории структурного баланса Хайдера). Знаковый граф называется сбалансированным, если в любом его цикле произведение знаков ребер положительно. Проще говоря: в любом цикле должно быть четное количество знаков \( - \) (минус). Проверим каждый граф по порядку: 1. Первый граф (вершины 1-2-3-4-5): Рассмотрим цикл 2-3-4-2. Знаки: \( - \), \( + \), \( - \). Произведение: \( (-) \cdot (+) \cdot (-) = (+) \). Рассмотрим цикл 1-3-4-5-1. Знаки: \( + \), \( + \), \( - \), \( - \). Произведение: \( (+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \). Рассмотрим цикл 2-5-4-2. Знаки: \( + \), \( - \), \( - \). Произведение: \( (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \). Все циклы имеют четное число минусов. Граф сбалансирован. 2. Второй граф: Рассмотрим цикл 1-2-3-4-1. Знаки: \( + \), \( - \), \( + \), \( - \). Произведение: \( (+) \). Рассмотрим цикл 1-2-5-1. Знаки: \( + \), \( - \), \( + \). Произведение: \( (-) \). В цикле 1-2-5-1 нечетное количество минусов (один). Граф не сбалансирован. 3. Третий граф (вершины 1-6): Рассмотрим цикл 2-3-6-1-2. Знаки: \( - \), \( - \), \( + \), \( + \). Произведение: \( (+) \). Рассмотрим цикл 2-4-5-2. Знаки: \( - \), \( - \), \( + \). Произведение: \( (+) \). Все циклы сбалансированы. Граф сбалансирован. 4. Четвертый граф: Рассмотрим цикл 1-2-3-1. Знаки: \( - \), \( + \), \( + \). Произведение: \( (-) \). Один минус в цикле — граф не сбалансирован. 5. Пятый граф: Рассмотрим цикл 1-2-3-1. Знаки: \( + \), \( + \), \( + \). Произведение: \( (+) \). Рассмотрим цикл 2-3-4-2. Знаки: \( + \), \( - \), \( + \). Произведение: \( (-) \). В цикле 2-3-4-2 один минус. Граф не сбалансирован. Ответ: Сбалансированными являются: — Первый граф (с вершинами 1, 2, 3, 4, 5) — Третий граф (с вершинами 1, 2, 3, 4, 5, 6)