Решение задачи: Найти BC в прямоугольном треугольнике

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \). \( CH \perp AB \), \( H \in AB \). \( AH = 4 \), \( CH = 3 \). Найти: \( BC \). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACH \) (\( \angle CHA = 90^\circ \)). По теореме Пифагора найдем катет \( AC \): \[ AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} \] \[ AC = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных треугольника, которые также подобны исходному. Воспользуемся свойством высоты прямоугольного треугольника: квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу. \[ CH^2 = AH \cdot HB \] 3. Выразим и найдем отрезок \( HB \): \[ 3^2 = 4 \cdot HB \] \[ 9 = 4 \cdot HB \] \[ HB = 9 : 4 = 2,25 \] 4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( BCH \) (\( \angle CHB = 90^\circ \)). По теореме Пифагора найдем гипотенузу \( BC \): \[ BC = \sqrt{CH^2 + HB^2} \] \[ BC = \sqrt{3^2 + 2,25^2} = \sqrt{9 + 5,0625} = \sqrt{14,0625} = 3,75 \] Ответ: 3,75.