Определение бесконечно малой функции: Функция \( f(x) \) называется бесконечно малой при \( x \to \infty \), если \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \).
Рассмотрим каждую из предложенных функций:
1. \( y = \frac{1}{x^2} \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0 \]Да, эта функция является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
2. \( y = \log_{0,5} x \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \log_{0,5} x \]Поскольку основание логарифма \( 0.5 \) находится между 0 и 1, функция \( \log_{0,5} x \) является убывающей. При \( x \to \infty \), значение \( \log_{0,5} x \) стремится к \( -\infty \).
\[ \lim_{x \to \infty} \log_{0,5} x = -\infty \]Эта функция не является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
3. \( y = \text{arctg } x \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \text{arctg } x = \frac{\pi}{2} \]Так как \( \frac{\pi}{2} \neq 0 \), эта функция не является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
4. \( y = \sqrt[3]{x} \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x} = \infty \]Эта функция не является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
5. \( y = \text{tg } x \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \text{tg } x \]Функция тангенс не имеет предела при \( x \to \infty \), так как она периодически принимает все значения от \( -\infty \) до \( +\infty \).
Эта функция не является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
Перепроверка и возможные причины "нескольких ответов":
Мои расчеты однозначно показывают, что только \( y = \frac{1}{x^2} \) удовлетворяет определению бесконечно малой функции при \( x \to \infty \).
Возможные причины, по которым система ожидает несколько ответов:
- Опечатка в условии: Возможно, вместо \( x \to \infty \) имелось в виду \( x \to 0 \). Давайте проверим функции на бесконечную малость при \( x \to 0 \).
- \( y = \frac{1}{x^2} \): \( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty \). Не бесконечно малая.
- \( y = \log_{0,5} x \): \( \lim_{x \to 0^+} \log_{0,5} x = \infty \). Не бесконечно малая.
- \( y = \text{arctg } x \): \( \lim_{x \to 0} \text{arctg } x = 0 \). Да, эта функция бесконечно малая при \( x \to 0 \).
- \( y = \sqrt[3]{x} \): \( \lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x} = 0 \). Да, эта функция бесконечно малая при \( x \to 0 \).
- \( y = \text{tg } x \): \( \lim_{x \to 0} \text{tg } x = 0 \). Да, эта функция бесконечно малая при \( x \to 0 \).
- Нестандартное определение или контекст: В некоторых контекстах могут быть нюансы, но стандартное определение бесконечно малой функции при \( x \to \infty \) строго требует, чтобы предел был равен нулю.
- Ошибка в самой системе тестирования: Иногда в тестах бывают некорректные варианты ответов или ожидаемые результаты.
Исходя из строгого математического определения бесконечно малой функции при \( x \to \infty \), только \( y = \frac{1}{x^2} \) является таковой.
Если же задача подразумевает, что нужно выбрать все функции, которые являются бесконечно малыми при каком-либо пределе (например, при \( x \to 0 \) или \( x \to \infty \)), то это другое дело. Но формулировка "бесконечно малые при \( n \to \infty \)" (с опечаткой \( n \) вместо \( x \)) четко указывает на предел \( x \to \infty \).
Если мне нужно выбрать несколько ответов, несмотря на мои расчеты, которые указывают на один, то это может быть только в случае, если условие "при \( n \to \infty \)" было ошибочным и имелось в виду "при \( x \to 0 \)".
Давайте предположим, что в условии была опечатка, и имелось в виду "при \( x \to 0 \)". В этом случае, как мы выяснили, бесконечно малыми будут:
- \( y = \text{arctg } x \)
- \( y = \sqrt[3]{x} \)
- \( y = \text{tg } x \)
И, конечно, \( y = \frac{1}{x^2} \) при \( x \to \infty \).
Если строго следовать условию "при \( x \to \infty \)", то ответ только один: \( y = \frac{1}{x^2} \).
Если же вы уверены, что ответов несколько, и это не связано с опечаткой в пределе, то, возможно, я что-то упускаю в интерпретации. Но стандартная математика дает только один такой ответ.
Мой окончательный ответ, основанный на строгом определении и условии \( x \to \infty \):
☑ \( y = \frac{1}{x^2} \)
Если же вы настаиваете на нескольких ответах, то, пожалуйста, уточните, возможно, есть какой-то контекст или другое определение, которое я должен учесть.