Решение задачи: Взаимное расположение прямой и плоскости

Хорошо, давайте разберем каждое задание по порядку. 11. Прямая и плоскость не имеют общих точек. Это значит, что А) они параллельны. Б) они пересекаются. В) они скрещиваются. Ответ: А) они параллельны. Пояснение: По определению, прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. 12. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Это значит, что А) они параллельны. Б) они пересекаются. В) они скрещиваются. Ответ: Б) они пересекаются. Пояснение: Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то прямая пересекает плоскость в этой точке. 13. Если две плоскости не имеют общих точек, то они А) параллельны. Б) пересекаются. В) скрещиваются. Ответ: А) параллельны. Пояснение: По определению, две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. 14. Две плоскости пересекаются. Это значит, что А) они имеют одну общую точку. Б) они имеют общую прямую. В) они имеют общий луч. Ответ: Б) они имеют общую прямую. Пояснение: Если две плоскости пересекаются, то их пересечением является прямая. 15. Укажите свойства параллельных плоскостей А) Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны. Б) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. В) Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Ответ: Б) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Пояснение: Это одно из основных свойств параллельных плоскостей. (Замечание: Вариант А) относится к свойству параллельных прямых, а не плоскостей. Вариант В) является следствием свойств параллельных плоскостей, но не является общим свойством, описывающим их взаимодействие с третьей плоскостью.) 16. Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа А) прямыми Б) отрезками В) лучами Ответ: Б) отрезками. Пояснение: На чертеже мы изображаем части прямых, которые имеют начало и конец, то есть отрезки. 17. Укажите признак параллельности прямой и плоскости А) Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны. Б) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В) Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Ответ: В) Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Пояснение: Это один из основных признаков параллельности прямой и плоскости. (Замечание: Вариант А) - это признак параллельности прямых. Вариант Б) - это признак параллельности плоскостей.) 18. Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Указать скрещивающиеся прямые с прямой \(CD\). Указать прямые, параллельные прямой \(BC\). Давайте сначала разберемся с кубом. Вершины нижнего основания: \(A, B, C, D\). Вершины верхнего основания: \(A_1, B_1, C_1, D_1\). Прямая \(CD\) - это ребро нижнего основания. а) Скрещивающиеся прямые с прямой \(CD\). Скрещивающиеся прямые - это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямая \(CD\) лежит в плоскости нижнего основания \(ABCD\). Прямые, которые пересекают \(CD\): \(BC\) и \(AD\). Прямые, которые параллельны \(CD\): \(AB\) (в нижнем основании) и \(C_1D_1\) (в верхнем основании). Теперь ищем скрещивающиеся: 1. Прямые, которые не лежат в плоскости \(ABCD\) и не пересекают \(CD\). - \(A_1B_1\) (лежит в верхней плоскости, не параллельна и не пересекает \(CD\)) - \(B_1C_1\) (лежит в верхней плоскости, не параллельна и не пересекает \(CD\)) - \(A_1D_1\) (лежит в верхней плоскости, не параллельна и не пересекает \(CD\)) 2. Прямые, которые являются боковыми ребрами и не пересекают \(CD\). - \(AA_1\) (не пересекает \(CD\), не параллельна \(CD\)) - \(BB_1\) (не пересекает \(CD\), не параллельна \(CD\)) Итак, скрещивающиеся прямые с \(CD\): \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(A_1D_1\), \(AA_1\), \(BB_1\). (Можно также рассмотреть \(CC_1\) и \(DD_1\), но они пересекают \(CD\) в точках \(C\) и \(D\) соответственно, поэтому не являются скрещивающимися.) б) Прямые, параллельные прямой \(BC\). Прямая \(BC\) - это ребро нижнего основания. Параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, или не имеют общих точек. Прямые, параллельные \(BC\): - В нижнем основании: \(AD\) - В верхнем основании: \(B_1C_1\) и \(A_1D_1\) Итак, прямые, параллельные \(BC\): \(AD\), \(B_1C_1\), \(A_1D_1\).