Решение: Полная система уравнений электромагнитного поля (уравнения Максвелла)

Вот ответы на ваши вопросы, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Приведите полную систему уравнений электромагнитного поля. Полная система уравнений электромагнитного поля, также известная как уравнения Максвелла, описывает поведение электрических и магнитных полей и их взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме: 1. Теорема Гаусса для электрического поля: \[ \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \] Где: * \( \nabla \cdot \) — оператор дивергенции. * \( \mathbf{D} \) — вектор электрической индукции (или электрического смещения). * \( \rho \) — объёмная плотность свободных зарядов. 2. Теорема Гаусса для магнитного поля: \[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \] Где: * \( \mathbf{B} \) — вектор магнитной индукции. Это уравнение означает, что не существует магнитных монополей (изолированных магнитных зарядов). 3. Закон Фарадея-Максвелла (закон электромагнитной индукции): \[ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \] Где: * \( \nabla \times \) — оператор ротора. * \( \mathbf{E} \) — вектор напряжённости электрического поля. * \( \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \) — скорость изменения магнитной индукции по времени. Это уравнение описывает возникновение вихревого электрического поля при изменении магнитного поля. 4. Закон Ампера-Максвелла: \[ \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \] Где: * \( \mathbf{H} \) — вектор напряжённости магнитного поля. * \( \mathbf{j} \) — вектор плотности тока проводимости. * \( \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \) — плотность тока смещения, введённая Максвеллом. Это уравнение описывает возникновение вихревого магнитного поля как за счёт токов проводимости, так и за счёт изменения электрического поля. Материальные уравнения (связывают векторы полей в среде): \[ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \varepsilon \mathbf{E} \] \[ \mathbf{B} = \mu_0 \mu \mathbf{H} \] \[ \mathbf{j} = \sigma \mathbf{E} \] Где: * \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная. * \( \varepsilon \) — относительная диэлектрическая проницаемость среды. * \( \mu_0 \) — магнитная постоянная. * \( \mu \) — относительная магнитная проницаемость среды. * \( \sigma \) — удельная проводимость среды. 2. Задача расчёта электростатического поля для случая тело из диэлектрика во внешнем электростатическом поле. При расчёте электростатического поля для диэлектрического тела, помещённого во внешнее электростатическое поле, необходимо учитывать явление поляризации диэлектрика. Основные шаги и уравнения для решения такой задачи: 1.

Постановка задачи:

Имеется диэлектрическое тело с диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon \) (или относительной диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon_r \)) и внешнее электростатическое поле \( \mathbf{E}_0 \). Необходимо найти результирующее электрическое поле \( \mathbf{E} \) и электрическую индукцию \( \mathbf{D} \) как внутри, так и вне диэлектрика. 2.

Явление поляризации:

Под действием внешнего электрического поля в диэлектрике происходит смещение связанных зарядов (поляризация). Это приводит к появлению объёмных и поверхностных связанных зарядов, которые создают своё собственное электрическое поле \( \mathbf{E}_{пол} \). Результирующее поле внутри диэлектрика будет суммой внешнего поля и поля поляризации. 3.

Уравнения для поля:

В электростатике уравнения Максвелла упрощаются. Основными уравнениями являются: * Уравнение для потенциала: \( \mathbf{E} = - \nabla \varphi \) * Уравнение Пуассона: \( \nabla^2 \varphi = - \frac{\rho}{\varepsilon_0 \varepsilon_r} \) (для области с зарядами) * Уравнение Лапласа: \( \nabla^2 \varphi = 0 \) (для области без свободных зарядов) 4.

Граничные условия:

На границе раздела диэлектрика с другой средой (например, с вакуумом или воздухом) должны выполняться следующие граничные условия: * Непрерывность тангенциальной составляющей напряжённости электрического поля: \[ E_{1\tau} = E_{2\tau} \] или \[ \varphi_1 = \varphi_2 \] (потенциал непрерывен на границе) * Непрерывность нормальной составляющей электрической индукции (при отсутствии свободных поверхностных зарядов): \[ D_{1n} = D_{2n} \] или \[ \varepsilon_1 E_{1n} = \varepsilon_2 E_{2n} \] Если на границе есть поверхностная плотность свободных зарядов \( \sigma_{св} \), то: \[ D_{2n} - D_{1n} = \sigma_{св} \] 5.

Методы решения:

* Метод разделения переменных: Применяется для тел простой геометрической формы (шар, цилиндр, плоскость). * Метод изображений: Используется для решения задач с проводниками и диэлектриками, когда можно заменить диэлектрик или проводник эквивалентными зарядами. * Численные методы: Для тел сложной формы используются численные методы (например, метод конечных элементов, метод конечных разностей). 6.

Пример (шар в однородном поле):

Если диэлектрический шар радиуса \( R \) с диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon \) помещён в однородное внешнее поле \( \mathbf{E}_0 \), направленное вдоль оси \( z \), то потенциал поля можно искать в виде: * Внутри шара (\( r \le R \)): \( \varphi_{вн} = - A r \cos \theta \) * Вне шара (\( r > R \)): \( \varphi_{вн} = - E_0 r \cos \theta + \frac{B}{r^2} \cos \theta \) Константы \( A \) и \( B \) находятся из граничных условий на поверхности шара. Таким образом, задача сводится к решению уравнений Лапласа или Пуассона с соответствующими граничными условиями на поверхности диэлектрика и на бесконечности (для внешнего поля). 3. Задача: Определить какая из представленных схем соответствует схеме включения транзистора с общим эмиттером и пояснить какие она имеет преимущества перед другими схемами. Рассмотрим представленные схемы транзисторов:

Схема 1:

(Изображение транзистора, у которого эмиттер подключен к общей точке, база является входом, а коллектор - выходом.)

Схема 2:

(Изображение транзистора, у которого коллектор подключен к общей точке, база является входом, а эмиттер - выходом.)

Схема 3:

(Изображение транзистора, у которого база подключена к общей точке, эмиттер является входом, а коллектор - выходом.)

Определение схемы с общим эмиттером:

Схема включения транзистора с общим эмиттером (ОЭ) — это такая схема, в которой эмиттер транзистора является общим для входной и выходной цепей. Входной сигнал подаётся между базой и эмиттером, а выходной сигнал снимается между коллектором и эмиттером. Из представленных схем, первая схема соответствует схеме включения транзистора с общим эмиттером. У неё эмиттер подключен к общей точке (земле или источнику питания), входной сигнал подаётся на базу, а выходной снимается с коллектора.

Преимущества схемы с общим эмиттером перед другими схемами (общий коллектор и общая база):

1.

Высокий коэффициент усиления по току (\( \beta \)):

Схема ОЭ обеспечивает наибольший коэффициент усиления по току среди всех трёх схем. Это означает, что небольшое изменение входного тока базы приводит к значительному изменению выходного тока коллектора. Это делает её идеальной для усиления слабых сигналов. 2.

Высокий коэффициент усиления по напряжению:

Схема ОЭ также обладает высоким коэффициентом усиления по напряжению. Это позволяет получить значительное увеличение амплитуды входного напряжения на выходе. 3.

Высокий коэффициент усиления по мощности:

Благодаря высокому усилению как по току, так и по напряжению, схема с общим эмиттером обеспечивает наибольший коэффициент усиления по мощности. Это делает её наиболее универсальной для большинства усилительных каскадов. 4.

Умеренное входное и выходное сопротивление:

* Входное сопротивление: Схема ОЭ имеет умеренное входное сопротивление (обычно от нескольких сотен Ом до нескольких кОм), что позволяет легко согласовывать её с различными источниками сигнала. * Выходное сопротивление: Выходное сопротивление также умеренное, что облегчает согласование с нагрузкой. 5.

Инверсия фазы:

Важной особенностью схемы ОЭ является инверсия фазы выходного сигнала относительно входного на 180 градусов. Это может быть как преимуществом, так и недостатком в зависимости от конкретного применения, но часто используется в многокаскадных усилителях для компенсации фазовых сдвигов.

Сравнение с другими схемами:

* Схема с общим коллектором (эмиттерный повторитель): Имеет высокий коэффициент усиления по току, но коэффициент усиления по напряжению близок к единице. Используется как буферный каскад для согласования сопротивлений. * Схема с общей базой: Имеет высокий коэффициент усиления по напряжению, но коэффициент усиления по току близок к единице. Обладает очень низким входным сопротивлением и высоким выходным, что ограничивает её применение в основном для высокочастотных усилителей. Таким образом, схема с общим эмиттером является наиболее распространённой и универсальной благодаря своим высоким усилительным свойствам по току, напряжению и мощности, что делает её основой для построения большинства усилительных каскадов.