Решение задач по математическому анализу

3. Понятие комплексного числа. Комплексным числом \( z \) называется выражение вида \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) — действительные числа, а \( i \) — мнимая единица, для которой справедливо равенство \( i^2 = -1 \). Число \( a \) называется действительной частью (\( Re \, z \)), а \( b \) — мнимой частью (\( Im \, z \)). 8. Модуль и аргумент комплексного числа. Модулем комплексного числа \( z = a + bi \) называется длина вектора, соответствующего этому числу на комплексной плоскости: \[ |z| = r = \sqrt{a^2 + b^2} \] Аргументом комплексного числа \( \phi = Arg \, z \) называется угол между положительным направлением действительной оси и вектором \( z \). Он определяется из системы: \[ \cos \phi = \frac{a}{r}, \quad \sin \phi = \frac{b}{r} \] 10. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера устанавливает связь между экспонентой и тригонометрическими функциями: \[ e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi \] Используя эту формулу, любое комплексное число можно записать в показательной форме: \[ z = r \cdot e^{i\phi} \] где \( r \) — модуль, а \( \phi \) — аргумент числа. 14. Пределы, непрерывность функций. Число \( A \) называется пределом функции \( f(x) \) при \( x \to x_0 \), если для любого сколь угодно малого \( \epsilon > 0 \) найдется такое \( \delta > 0 \), что из условия \( |x - x_0| < \delta \) следует \( |f(x) - A| < \epsilon \). Функция \( f(x) \) называется непрерывной в точке \( x_0 \), если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] 16. Правила дифференцирования. Если \( u \) и \( v \) — дифференцируемые функции, а \( C \) — константа, то: 1) \( (C)' = 0 \) 2) \( (u \pm v)' = u' \pm v' \) 3) \( (C \cdot u)' = C \cdot u' \) 4) \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \) 5) \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) 32. Необходимое условие сходимости ряда. Если числовой ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится, то его общий член \( a_n \) стремится к нулю при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \] Если этот предел не равен нулю, то ряд расходится. 33. Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами \( \sum a_n \). Рассмотрим предел отношения последующего члена к предыдущему: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L \] 1) Если \( L < 1 \), то ряд сходится. 2) Если \( L > 1 \), то ряд расходится. 3) Если \( L = 1 \), то признак ответа не дает. 37. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n \) сходится, если выполняются два условия: 1) Члены ряда убывают по модулю: \( a_1 > a_2 > a_3 > \dots \) 2) Предел общего члена равен нулю: \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 41. Понятие о тригонометрическом ряде Фурье. Рядом Фурье для функции \( f(x) \) на отрезке \( [-\pi, \pi] \) называется функциональный ряд вида: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] Коэффициенты \( a_n \) и \( b_n \) вычисляются через интегралы от функции \( f(x) \). 48. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема сложения: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей: \[ P(A + B) = P(A) + P(B) \] Теорема умножения: Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: \[ P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) \] 49. Формула полной вероятности. Если событие \( A \) может произойти только вместе с одной из гипотез \( H_1, H_2, \dots, H_n \), образующих полную группу, то вероятность события \( A \) равна: \[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A|H_i) \] 54. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа. Абсолютной погрешностью \( \Delta \) называется модуль разности между точным значением \( X \) и приближенным \( x \): \[ \Delta = |X - x| \] Относительной погрешностью \( \delta \) называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа: \[ \delta = \frac{\Delta}{|x|} \]