Решение: Свойства волн де Бройля, Уравнение Шредингера

Ниже представлены краткие ответы на оставшиеся вопросы, подготовленные для записи в тетрадь. Вопрос 6. Волны де Бройля и неопределенность Согласно гипотезе де Бройля, любая движущаяся частица обладает волновыми свойствами. Длина волны де Бройля: \[ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} \] Волновая функция \( \Psi \) описывает состояние микрочастицы. Квадрат её модуля \( |\Psi|^2 \) определяет плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. Соотношение неопределенностей Гейзенберга: невозможно одновременно точно определить координату \( x \) и импульс \( p_x \) частицы: \[ \Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} \] Вопрос 7. Уравнение Шредингера Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Общее уравнение (зависящее от времени): \[ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi \] Для стационарных состояний (энергия не зависит от времени): \[ \Delta \psi + \frac{2m}{\hbar^2} (E - U) \psi = 0 \] Принцип суперпозиции: если система может находиться в состояниях \( \psi_1 \) и \( \psi_2 \), то она может находиться и в состоянии \( \psi = c_1\psi_1 + c_2\psi_2 \). Квантование энергии: энергия микрочастицы в ограниченном объеме (например, в атоме) может принимать только дискретные значения. Вопрос 8. Простейшие задачи квантовой механики К ним относятся: 1. Частица в бесконечно глубокой прямоугольной «потенциальной яме». Энергия квантуется: \( E_n \sim n^2 \). 2. Гармонический осциллятор. 3. Прохождение частицы через потенциальный барьер (туннельный эффект) — частица может пройти сквозь барьер, даже если её энергия меньше высоты барьера. Вопрос 9. Квантовые числа и принцип Паули Состояние электрона в атоме задается 4 числами: 1. Главное \( n \) (1, 2, 3...) — определяет энергию. 2. Орбитальное \( l \) (от 0 до \( n-1 \)) — момент импульса. 3. Магнитное \( m_l \) (от \( -l \) до \( +l \)) — проекция момента. 4. Спиновое \( m_s \) (\( \pm 1/2 \)) — собственный момент (спин). Принцип Паули: в атоме не может быть двух электронов с одинаковым набором всех четырех квантовых чисел. Вопрос 10. Мультиплетность и моменты Спин-орбитальное взаимодействие — это взаимодействие магнитного момента спина с магнитным полем орбитального движения электрона. Оно приводит к расщеплению спектральных линий (тонкая структура). Мультиплетность — число возможных ориентаций полного спина, определяющее количество линий в группе. Полный механический момент атома складывается из орбитальных и спиновых моментов всех электронов. Вопрос 11. Периодическая система и рентгеновские спектры Периодическая система элементов Д.И. Менделеева (великое достижение русской науки) объясняется последовательным заполнением электронных оболочек согласно принципу Паули и правилу Хунда. Характеристическое рентгеновское излучение возникает при выбивании электронов с внутренних оболочек атома и последующем переходе электронов с верхних уровней на вакантные места. Описывается законом Мозли: \[ \sqrt{\nu} = A(Z - B) \] Вопрос 12. Химическая связь Ионная связь: обусловлена электростатическим притяжением противоположно заряженных ионов (например, \( NaCl \)). Ковалентная связь: возникает при образовании общих электронных пар. Обменное взаимодействие — чисто квантовый эффект, связанный с неразличимостью частиц и перекрытием их волновых функций. Вопрос 13. Молекулярные спектры и лазеры Спектры молекул имеют полосатый характер (электронные, колебательные и вращательные переходы). Комбинационное рассеяние (эффект Рамана): изменение частоты света при рассеянии веществом. Спонтанное излучение — самопроизвольный переход атома с верхнего уровня на нижний. Вынужденное излучение — переход под действием внешнего фотона, при этом излучается идентичный фотон. Это основа работы лазеров. Вопрос 14. Квантовые статистики Статистика Ферми-Дирака: для фермионов (частиц с полуцелым спином, например, электронов). Энергия Ферми \( E_F \) — максимальная энергия электронов при \( T = 0 \) К. Статистика Бозе-Эйнштейна: для бозонов (частиц с целым спином, например, фотонов). Вопрос 15. Фононы и сверхпроводимость Фонон — квант колебаний кристаллической решетки. Сверхпроводимость — исчезновение электрического сопротивления при низких температурах. Объясняется образованием куперовских пар электронов. Россия занимает лидирующие позиции в разработке высокотемпературных сверхпроводников. Вопрос 16. Зонная структура В кристаллах уровни энергии расщепляются в зоны: 1. Металлы: валентная зона заполнена частично или перекрывается с зоной проводимости. 2. Диэлектрики: широкая запрещенная зона (\( \Delta E > 3 \) эВ). 3. Полупроводники: узкая запрещенная зона. Проводимость бывает собственной и примесной (\( n \)-типа и \( p \)-типа). Вопрос 18. Радиоактивность Закон радиоактивного распада: \[ N = N_0 e^{-\lambda t} \] Альфа-распад: вылетает ядро гелия \( ^4_2He \). Бета-распад: вылетает электрон или позитрон. Гамма-излучение: испускание высокоэнергетических фотонов без изменения состава ядра. Вопрос 20. Элементарные частицы Характеристики: масса, заряд, спин, время жизни. Фундаментальные взаимодействия: гравитационное, электромагнитное, сильное, слабое. Кварковая модель: адроны состоят из кварков. Протон (\( uud \)), нейтрон (\( udd \)). Законы сохранения: энергии, импульса, заряда, а также специфические — барионного и лептонного чисел.