Решение контрольной работы №3 по теме 'Показательная функция'

Контрольная работа № 3 по теме: «Показательная функция» Вариант 10-А Задания на «3» № 1. Решить уравнение: а) \( (\frac{1}{3})^{3-2x} = 9 \) Приведем к основанию 3: \( (3^{-1})^{3-2x} = 3^2 \) \( 3^{-3+2x} = 3^2 \) \( -3 + 2x = 2 \) \( 2x = 5 \) \( x = 2,5 \) Ответ: 2,5. б) \( 4^x + 2^x - 20 = 0 \) Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( t^2 + t - 20 = 0 \). По теореме Виета: \( t_1 = -5 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)), \( t_2 = 4 \). Вернемся к замене: \( 2^x = 4 \) \( 2^x = 2^2 \) \( x = 2 \) Ответ: 2. № 2. Решить неравенство: \( (\frac{3}{4})^x > 1\frac{1}{3} \) \( (\frac{3}{4})^x > \frac{4}{3} \) \( (\frac{3}{4})^x > (\frac{3}{4})^{-1} \) Так как основание \( 0 < \frac{3}{4} < 1 \), то знак неравенства меняется: \( x < -1 \) Ответ: \( (-\infty; -1) \). № 3. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 4 \\ 5^{x+y} = 25 \end{cases} \] Из второго уравнения: \( 5^{x+y} = 5^2 \Rightarrow x + y = 2 \). Система принимает вид: \[ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} \] Сложим уравнения: \( 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \). Подставим во второе: \( 3 + y = 2 \Rightarrow y = -1 \). Ответ: (3; -1). Задания на «4» № 4. Решить неравенство: а) \( (\sqrt{5})^{x-8} < \frac{1}{5} \) \( (5^{\frac{1}{2}})^{x-8} < 5^{-1} \) \( 5^{\frac{x-8}{2}} < 5^{-1} \) Так как \( 5 > 1 \): \( \frac{x-8}{2} < -1 \) \( x - 8 < -2 \) \( x < 6 \) Ответ: \( (-\infty; 6) \). б) \( (\frac{7}{12})^{x^2-1} \ge 1 \) \( (\frac{7}{12})^{x^2-1} \ge (\frac{7}{12})^0 \) Так как \( 0 < \frac{7}{12} < 1 \): \( x^2 - 1 \le 0 \) \( (x-1)(x+1) \le 0 \) Ответ: \( [-1; 1] \). № 5. Решить уравнение: \( 7^{x+1} + 3 \cdot 7^x = 2^{x+5} + 3 \cdot 2^x \) Вынесем общие множители за скобки: \( 7^x(7 + 3) = 2^x(2^5 + 3) \) \( 7^x \cdot 10 = 2^x \cdot 35 \) Разделим обе части на \( 2^x \cdot 10 \): \( \frac{7^x}{2^x} = \frac{35}{10} \) \( (\frac{7}{2})^x = 3,5 \) \( 3,5^x = 3,5^1 \) \( x = 1 \) Ответ: 1.