Решение задачи: Сложение сил и реакции опор

Экзаменационный билет №23 Вопрос 1. Сложение параллельных сил, направленных в одну сторону. Ответ: Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, обладает следующими свойствами: 1. Ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил: \[ R = F_1 + F_2 \] 2. Она направлена в ту же сторону, что и составляющие силы. 3. Линия действия равнодействующей проходит между точками приложения сил, а ее расстояния до этих точек обратно пропорциональны модулям сил: \[ \frac{F_1}{F_2} = \frac{BC}{AC} \] где \( AC \) и \( BC \) — расстояния от точек приложения сил до точки приложения равнодействующей. Вопрос 2. Определение реакций связей в опорах А и В. Дано: \( F = 40 \, кН \), \( \alpha = 60^\circ \) \( q_{max} = 10 \, кН/м \) \( M_1 = 20 \, кН \cdot м \) \( M_2 = 30 \, кН \cdot м \) \( AC = AD = 0,3 \, м \) \( DE = 0,6 \, м \) \( AB = 0,4 \, м \) (из чертежа видно, что \( AB \) — это расстояние между опорами). Решение: 1. Заменим распределенную нагрузку (треугольную) сосредоточенной силой \( Q \). Она приложена на расстоянии \( 1/3 \) от основания треугольника (от точки D): \[ Q = \frac{1}{2} \cdot q_{max} \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0,6 = 3 \, кН \] Расстояние от D до точки приложения \( Q \): \( d = \frac{1}{3} \cdot 0,6 = 0,2 \, м \). 2. Разложим силу \( F \) на составляющие: \[ F_x = F \cdot \cos(60^\circ) = 40 \cdot 0,5 = 20 \, кН \] \[ F_y = F \cdot \sin(60^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 34,64 \, кН \] 3. В опоре А (подвижный шарнир) возникает одна реакция \( R_A \). В опоре В (неподвижный шарнир) — две реакции \( X_B \) и \( Y_B \). 4. Составим уравнения равновесия: \(\sum X = 0\): \[ F_x + X_B = 0 \Rightarrow X_B = -F_x = -20 \, кН \] \(\sum M_B = 0\) (сумма моментов относительно точки В): \[ -R_A \cdot 0,4 + F_y \cdot (0,3 + 0,4) + M_2 - Q \cdot (0,4 - 0,3 + 0,2) - M_1 = 0 \] (Примечание: плечо для Q от B равно \( AB - AD + d = 0,4 - 0,3 + 0,2 = 0,3 \, м \)) \[ -0,4 R_A + 34,64 \cdot 0,7 + 30 - 3 \cdot 0,3 - 20 = 0 \] \[ -0,4 R_A + 24,25 + 30 - 0,9 - 20 = 0 \] \[ 0,4 R_A = 33,35 \Rightarrow R_A = 83,38 \, кН \] \(\sum M_A = 0\): \[ F_y \cdot 0,3 + M_2 - Q \cdot 0,1 - M_1 + Y_B \cdot 0,4 = 0 \] \[ 34,64 \cdot 0,3 + 30 - 3 \cdot 0,1 - 20 + 0,4 Y_B = 0 \] \[ 10,39 + 30 - 0,3 - 20 + 0,4 Y_B = 0 \] \[ 20,09 + 0,4 Y_B = 0 \Rightarrow Y_B = -50,23 \, кН \] Ответ: \( R_A = 83,38 \, кН \), \( X_B = -20 \, кН \), \( Y_B = -50,23 \, кН \).