Решение задачи: Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Экзаменационный билет № 22 Вопрос 1. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела и ее применение при решении задач (показать на примере). Ответ: Теорема: Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой. Математическая формулировка: Если \( A \) и \( B \) — две произвольные точки твердого тела, а \( \vec{v}_A \) и \( \vec{v}_B \) — их скорости, то: \[ v_A \cdot \cos \alpha = v_B \cdot \cos \beta \] где \( \alpha \) и \( \beta \) — углы между векторами скоростей и отрезком \( AB \). Доказательство (кратко): Расстояние между точками твердого тела неизменно: \( AB = const \). Следовательно, скорость изменения этого расстояния равна нулю, что и приводит к равенству проекций скоростей на ось, проходящую через эти точки. Если бы проекции были не равны, точки бы сближались или удалялись, что невозможно в абсолютно твердом теле. Применение (пример): Рассмотрим стержень \( AB \) длиной \( L \), концы которого скользят по перпендикулярным направляющим (осям координат). Пусть скорость точки \( A \), движущейся по оси \( Oy \), известна и равна \( v_A \). Нужно найти скорость точки \( B \), движущейся по оси \( Ox \). 1. Обозначим угол наклона стержня к оси \( Ox \) как \( \phi \). 2. Угол между \( \vec{v}_A \) и стержнем \( AB \) равен \( (90^\circ - \phi) \). 3. Угол между \( \vec{v}_B \) и стержнем \( AB \) равен \( \phi \). 4. Согласно теореме: \[ v_A \cdot \cos(90^\circ - \phi) = v_B \cdot \cos \phi \] \[ v_A \cdot \sin \phi = v_B \cdot \cos \phi \] 5. Отсюда скорость точки \( B \): \[ v_B = v_A \cdot \text{tg} \phi \] Эта теорема значительно упрощает решение задач кинематики, так как позволяет находить скорости точек без вычисления мгновенного центра скоростей.