Решение задачи по геометрии 8 класс: PE || NK

Хорошо, давайте решим задачу по геометрии. Задача 5. Дано: \(PE \parallel NK\), \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\) (смотреть рисунок). Найти: а) \(MK\); б) \(PE : NK\); в) \(S_{MPE} : S_{MNK}\). Решение: а) Найдем \(MK\). По условию, \(PE \parallel NK\). Рассмотрим треугольники \(\triangle MPE\) и \(\triangle MNK\). Угол \(\angle M\) - общий для обоих треугольников. Так как \(PE \parallel NK\), то соответственные углы равны: \(\angle MPE = \angle MNK\) и \(\angle MEP = \angle MKN\). Следовательно, треугольники \(\triangle MPE\) и \(\triangle MNK\) подобны по трем углам (или по двум углам). Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны: \[ \frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK} = \frac{PE}{NK} \] Подставим известные значения: \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\). \[ \frac{8}{12} = \frac{6}{MK} \] Чтобы найти \(MK\), решим пропорцию: \(8 \cdot MK = 12 \cdot 6\) \(8 \cdot MK = 72\) \(MK = \frac{72}{8}\) \(MK = 9\) Ответ: \(MK = 9\). б) Найдем отношение \(PE : NK\). Из подобия треугольников \(\triangle MPE\) и \(\triangle MNK\) мы знаем, что: \[ \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} \] Подставим известные значения: \(MP = 8\), \(MN = 12\). \[ \frac{PE}{NK} = \frac{8}{12} \] Сократим дробь: \[ \frac{PE}{NK} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{2}{3} \] Ответ: \(PE : NK = 2 : 3\). в) Найдем отношение \(S_{MPE} : S_{MNK}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон. Мы уже нашли его в пункте б): \[ k = \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} = \frac{2}{3} \] Тогда отношение площадей: \[ \frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = k^2 \] \[ \frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] \[ \frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \frac{2^2}{3^2} \] \[ \frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \frac{4}{9} \] Ответ: \(S_{MPE} : S_{MNK} = 4 : 9\). Итоговые ответы: а) \(MK = 9\) б) \(PE : NK = 2 : 3\) в) \(S_{MPE} : S_{MNK} = 4 : 9\)