Решение задачи по статике

Решение задачи по статике. Определить координату \(Y_c\) центра тяжести однородного изогнутого листа, состоящего из двух треугольников и прямоугольника. Дано: \(a = 0,6\) м \(b = 8,1\) м \(c = 0,5\) м Решение: Для определения координат центра тяжести сложной фигуры, состоящей из нескольких простых фигур, используется формула: \[Y_c = \frac{\sum (A_i \cdot Y_{ci})}{\sum A_i}\] где \(A_i\) - площадь \(i\)-й фигуры, а \(Y_{ci}\) - координата центра тяжести \(i\)-й фигуры. Разделим изогнутый лист на три простые фигуры: 1. Прямоугольник (нижняя часть, лежащая в плоскости \(xy\)). 2. Треугольник 1 (вертикальный, лежащий в плоскости \(xz\)). 3. Треугольник 2 (наклонный, лежащий в плоскости, параллельной \(xz\)). Определим площади и координаты центров тяжести для каждой фигуры. 1. Прямоугольник (обозначим его как фигура 1) Размеры прямоугольника: длина \(b\), ширина \(a\). Площадь: \[A_1 = a \cdot b = 0,6 \text{ м} \cdot 8,1 \text{ м} = 4,86 \text{ м}^2\] Координаты центра тяжести прямоугольника: \[X_{c1} = \frac{b}{2} = \frac{8,1}{2} = 4,05 \text{ м}\] \[Y_{c1} = \frac{a}{2} = \frac{0,6}{2} = 0,3 \text{ м}\] \[Z_{c1} = 0\] 2. Треугольник 1 (вертикальный, обозначим его как фигура 2) Этот треугольник расположен в плоскости \(xz\). Его основание лежит на оси \(x\), а вершина находится на оси \(z\). Размеры треугольника: основание \(b\), высота \(c\). Площадь: \[A_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot 8,1 \text{ м} \cdot 0,5 \text{ м} = 2,025 \text{ м}^2\] Координаты центра тяжести треугольника: Для треугольника, у которого одна вершина в начале координат, а основание лежит на оси \(x\), координаты центра тяжести: \[X_{c2} = \frac{2}{3} \cdot b = \frac{2}{3} \cdot 8,1 = 5,4 \text{ м}\] \[Y_{c2} = 0\] (так как треугольник лежит в плоскости \(xz\)) \[Z_{c2} = \frac{1}{3} \cdot c = \frac{1}{3} \cdot 0,5 = \frac{0,5}{3} \approx 0,1667 \text{ м}\] 3. Треугольник 2 (наклонный, обозначим его как фигура 3) Этот треугольник расположен в плоскости, параллельной \(xz\), на расстоянии \(y = a\) от плоскости \(xz\). Размеры треугольника: основание \(b\), высота \(c\). Площадь: \[A_3 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot 8,1 \text{ м} \cdot 0,5 \text{ м} = 2,025 \text{ м}^2\] Координаты центра тяжести треугольника: \[X_{c3} = \frac{2}{3} \cdot b = \frac{2}{3} \cdot 8,1 = 5,4 \text{ м}\] \[Y_{c3} = a = 0,6 \text{ м}\] (так как треугольник находится на расстоянии \(a\) от плоскости \(xz\)) \[Z_{c3} = \frac{1}{3} \cdot c = \frac{1}{3} \cdot 0,5 = \frac{0,5}{3} \approx 0,1667 \text{ м}\] Теперь вычислим общую площадь и сумму произведений \(A_i \cdot Y_{ci}\). Общая площадь: \[A_{общ} = A_1 + A_2 + A_3 = 4,86 + 2,025 + 2,025 = 8,91 \text{ м}^2\] Сумма произведений \(A_i \cdot Y_{ci}\): \[\sum (A_i \cdot Y_{ci}) = A_1 \cdot Y_{c1} + A_2 \cdot Y_{c2} + A_3 \cdot Y_{c3}\] \[\sum (A_i \cdot Y_{ci}) = 4,86 \text{ м}^2 \cdot 0,3 \text{ м} + 2,025 \text{ м}^2 \cdot 0 \text{ м} + 2,025 \text{ м}^2 \cdot 0,6 \text{ м}\] \[\sum (A_i \cdot Y_{ci}) = 1,458 + 0 + 1,215 = 2,673 \text{ м}^3\] Теперь найдем координату \(Y_c\) центра тяжести всей фигуры: \[Y_c = \frac{\sum (A_i \cdot Y_{ci})}{\sum A_i} = \frac{2,673 \text{ м}^3}{8,91 \text{ м}^2} = 0,3 \text{ м}\] Ответ: Координата \(Y_c\) центра тяжести однородного изогнутого листа составляет 0,3 м. Ответ: 0,3