Задание:
Для изображенного на рис. 2.1 электромеханического устройства с заданными в табл. 2.1 параметрами определить:
— напряжение и число витков обмотки, выполненной из медного провода заданного диаметра, необходимое для гарантированного притягивания подвижной части магнитопровода к неподвижной;
— напряжение обмотки с найденными ранее параметрами, при котором произойдет гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной.
Исходные данные (Вариант 22 из Таблицы 2.1):
- Геометрические параметры магнитопровода: \(L_1 = 44\) мм; \(L_2 = 25\) мм; \(a_1 = 5\) мм; \(a_2 = 6\) мм; \(a_3 = 4\) мм; \(\delta = 0,2\) мм;
- Диаметр провода обмотки \(d = 0,95\) мм;
- Кривая намагничивания подвижной части магнитопровода задана Табл. 2.1.2;
- Кривая намагничивания неподвижной части магнитопровода задана Рис. 2.4;
- Сила тяги пружины \(F = 14\) Н.
Примечания:
- Номинальная плотность тока в обмотке из медного провода \(J = 2,5\) А/мм2;
- Удельное сопротивление меди \(\rho = 0,018\) мкОм·м;
- Абсолютная магнитная проницаемость воздуха \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\) Гн/м;
- Средняя длина подвижной части магнитопровода \(L_3 = L_1 + a_3\);
- Глубина всех элементов магнитопровода равна \(a_3\);
- Массой подвижной части магнитопровода и изменением силы тяги пружин при изменении их длины пренебречь;
- Магнитными потоками рассеяния пренебречь;
- При расчете длины провода намагничивающей обмотки запроектировать ее 20%-й технологический запас.
Решение:
1. Определим недостающие геометрические параметры магнитопровода.
Средняя длина подвижной части магнитопровода:
\[L_3 = L_1 + a_3 = 44 + 4 = 48 \text{ мм}\]Площади поперечных сечений магнитопровода:
\[S_1 = a_1 a_3 = 5 \cdot 4 = 20 \text{ мм}^2\] \[S_2 = a_2 a_3 = 6 \cdot 4 = 24 \text{ мм}^2\] \[S_3 = a_3 a_3 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ мм}^2\] \[S_\delta = S_2 = 24 \text{ мм}^2\]Гарантированное притягивание подвижной части магнитопровода к неподвижной произойдет при силе тяги электромагнита, превышающей силу тяги пружины.
Сила тяги электромагнита \(F = \frac{B_\delta^2}{2\mu_0} S_\delta\),
где \(B_\delta\) – индукция в воздушном зазоре площадью \(S_\delta\).
Таким образом, требуемая минимальная индукция воздушного зазора:
\[B_\delta = \sqrt{\frac{2\mu_0 F}{S_\delta}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 14}{24 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{351,858 \cdot 10^{-7}}{24 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{1,466 \cdot 10^{-1}} = \sqrt{0,1466} \approx 0,3829 \text{ Тл}\]Магнитный поток воздушного зазора:
\[\Phi_\delta = B_\delta S_\delta = 0,3829 \cdot 24 \cdot 10^{-6} = 9,1896 \cdot 10^{-6} \text{ Вб} = 9,1896 \text{ мкВб}\]При пренебрежении магнитными потоками рассеяния выполняется условие постоянства магнитного потока во всех элементах магнитопровода, который равен магнитному потоку в воздушном зазоре.
Исходя из условия \(\Phi = \text{const}\), величины магнитных индукций в ферромагнитных элементах магнитопровода определим как:
\[B_1 = \Phi_\delta / S_1 = 9,1896 \cdot 10^{-6} / (20 \cdot 10^{-6}) = 0,45948 \text{ Тл}\] \[B_2 = \Phi_\delta / S_2 = 9,1896 \cdot 10^{-6} / (24 \cdot 10^{-6}) = 0,3829 \text{ Тл}\] \[B_3 = \Phi_\delta / S_3 = 9,1896 \cdot 10^{-6} / (16 \cdot 10^{-6}) = 0,57435 \text{ Тл}\]По кривой намагничивания неподвижного магнитопровода (Рис. 2.4) определяем значения напряженностей магнитного поля, соответствующие определенным индукциям на участках магнитной цепи:
Для \(B_1 = 0,45948\) Тл (по Рис. 2.4): \(H_1 \approx 0,5 \cdot 10^4 \text{ А/м} = 5000 \text{ А/м}\)
Для \(B_2 = 0,3829\) Тл (по Рис. 2.4): \(H_2 \approx 0,4 \cdot 10^4 \text{ А/м} = 4000 \text{ А/м}\)
Для \(B_3 = 0,57435\) Тл (по Рис. 2.4): \(H_3 \approx 0,6 \cdot 10^4 \text{ А/м} = 6000 \text{ А/м}\)
Напряженность магнитного поля в подвижной части магнитопровода определяем по табл. 2.1.2. При этом зависимость напряженности от индукции магнитного поля между значениями двух соседних столбцов таблицы можно считать линейной:
\[H = c_1 + c_2 B\]Коэффициенты \(c_1\) и \(c_2\) определим, решив систему:
\[\begin{cases} H_A = c_1 + c_2 B_A \\ H_B = c_1 + c_2 B_B \end{cases}\]Для \(B_1 = 0,45948\) Тл, возьмем из Таблицы 2.1.2 ближайшие значения:
При \(B_A = 0,3\) Тл, \(H_A = 100\) А/м
При \(B_B = 0,5\) Тл, \(H_B = 200\) А/м
Тогда:
\[c_2 = \frac{H_B - H_A}{B_B - B_A} = \frac{200 - 100}{0,5 - 0,3} = \frac{100}{0,2} = 500\] \[c_1 = H_A - c_2 B_A = 100 - 500 \cdot 0,3 = 100 - 150 = -50\]Напряженность магнитного поля в подвижной части магнитопровода для \(B_1 = 0,45948\) Тл:
\[H_1' = -50 + 500 \cdot 0,45948 = -50 + 229,74 = 179,74 \text{ А/м}\]Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре:
\[H_\delta = \frac{B_\delta}{\mu_0} = \frac{0,3829}{4\pi \cdot 10^{-7}} \approx 304700 \text{ А/м}\]Запишем закон полного тока для рассматриваемой магнитной цепи, образованной магнитопроводами с обмоткой, разделенными воздушным зазором:
\[IW = 2H_\delta \delta + H_1 L_1 + 2H_2 L_2 + H_3 L_3\]Таким образом, требуемая МДС:
\[IW = (2 \cdot 304700 \cdot 0,2 \cdot 10^{-3}) + (179,74 \cdot 44 \cdot 10^{-3}) + (2 \cdot 4000 \cdot 25 \cdot 10^{-3}) + (6000 \cdot 48 \cdot 10^{-3})\] \[IW = (121,88) + (7,90856) + (200) + (288) = 617,78856 \text{ А}\]Округлим до 618 А.
Поперечное сечение провода обмотки диаметром \(d = 0,95\) мм:
\[S_{\text{пр}} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0,95}{2}\right)^2 = \pi (0,475)^2 = \pi \cdot 0,225625 \approx 0,7085 \text{ мм}^2\]Номинальный ток обмотки:
\[I = J S_{\text{пр}} = 2,5 \cdot 0,7085 = 1,77125 \text{ А}\]Требуемое число витков обмотки:
\[W_{\text{тр}} = \frac{IW}{I} = \frac{618}{1,77125} \approx 348,9 \text{ витков}\]Принимаем большее целое значение числа витков \(W = 349\).
Длина провода обмотки определяется как произведение длины одного витка на количество витков с учетом 20% технологического запаса:
Длина одного витка \(L_{\text{вит}} = 4a_1 + 4a_3 = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 4 = 20 + 16 = 36\) мм \( = 0,036\) м (по рисунку 2.1, обмотка намотана на центральном стержне, который имеет размеры \(a_1 \times a_3\), но в примере используется \(4a_1 W K_y\), что соответствует периметру сечения, на которое намотана обмотка, умноженному на число витков и коэффициент запаса. В данном случае, если обмотка намотана на центральный стержень, то периметр будет \(2(a_1+a_3)\). Однако, в примере используется \(4a_1\), что может означать, что \(a_1\) - это сторона квадрата, на который намотана обмотка. Давайте следовать примеру и использовать \(4a_1\), но это может быть не совсем корректно для данной геометрии. Если обмотка намотана на центральный стержень, то его периметр \(2(a_1+a_3)\). В примере \(L_{\text{пр}} = 4a_1 W K_y\). Давайте предположим, что \(a_1\) - это средняя длина витка по одной стороне, и тогда \(4a_1\) - это периметр. Или же, что \(a_1\) - это ширина обмотки, а \(a_3\) - глубина. В примере \(L_{\text{пр}} = 4a_1 W K_y\). Давайте используем \(4a_1\) как в примере, но это может быть упрощением. Если обмотка намотана на центральный стержень, то его периметр \(2(a_1+a_3)\). Давайте используем \(2(a_1+a_3)\) как более логичное значение для периметра витка.
Периметр одного витка \(P_{\text{вит}} = 2(a_1 + a_3) = 2(5 + 4) = 2 \cdot 9 = 18\) мм \( = 0,018\) м.
Длина провода обмотки с учетом 20% технологического запаса:
\[L_{\text{пр}} = P_{\text{вит}} \cdot W \cdot (1 + 0,2) = 0,018 \cdot 349 \cdot 1,2 = 7,5384 \text{ м}\]Сопротивление обмотки:
\[R = \rho \frac{L_{\text{пр}}}{S_{\text{пр}}} = 0,018 \cdot 10^{-6} \frac{7,5384}{0,7085 \cdot 10^{-6}} = 0,018 \frac{7,5384}{0,7085} \approx 0,1915 \text{ Ом}\]Минимальное требуемое напряжение на обмотке определяем по закону Ома:
\[U = I R = 1,77125 \cdot 0,1915 \approx 0,339 \text{ В}\]Таким образом, гарантированное притягивание подвижной части магнитопровода к неподвижной будет происходить, если на магнитопроводе выполнить обмотку из 349 витков медного провода диаметром 0,95 мм и подключить ее к источнику ЭДС величиной 0,339 В.
2. Гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной произойдет при силе тяги пружины, превышающей силу тяги электромагнита.
Так как сила тяги пружины не зависит от ее длины, а сила тяги электромагнита не зависит от размера воздушного зазора, то критические значения индукций и напряженностей магнитного поля в различных элементах рассматриваемой магнитной цепи равняются определенным в п.1 значениям.
Запишем закон полного тока для рассматриваемой магнитной цепи, образованной магнитопроводами с обмоткой при отсутствии воздушного зазора (т.е. \(\delta = 0\)):
\[IW = H_1 L_1 + 2H_2 L_2 + H_3 L_3\]Минимальная МДС, при которой сохраняется притяжение подвижной части магнитопровода к неподвижной:
\[IW = (179,74 \cdot 44 \cdot 10^{-3}) + (2 \cdot 4000 \cdot 25 \cdot 10^{-3}) + (6000 \cdot 48 \cdot 10^{-3})\] \[IW = (7,90856) + (200) + (288) = 495,90856 \text{ А}\]Округлим до 496 А.
Минимальный ток обмотки:
\[I_{\text{min}} = \frac{IW}{W} = \frac{496}{349} \approx 1,421 \text{ А}\]Напряжение на обмотке, соответствующее минимальному току, определяем по закону Ома:
\[U = I_{\text{min}} R = 1,421 \cdot 0,1915 \approx 0,272 \text{ В}\]Таким образом, гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной будет происходить при уменьшении напряжения, питающего обмотки, ниже величины 0,272 В.
Ответ:
1. Для гарантированного притягивания подвижной части магнитопровода к неподвижной необходимо выполнить обмотку из 349 витков медного провода диаметром 0,95 мм и подключить ее к источнику ЭДС величиной 0,339 В.
2. Гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной будет происходить при уменьшении напряжения, питающего обмотки, ниже 0,272 В.