Вопросы к зачету по дисциплине Инженерная геодезия
Курс 2, семестр 3, профиль ПГС
1. Метод проекций и система координат в геодезии. Прямоугольная и полярная система координат.
Метод проекций в геодезии – это способ изображения поверхности Земли (или её части) на плоскости. Поскольку Земля имеет форму, близкую к шару (геоид или эллипсоид), а карты плоские, всегда возникают искажения. Задача проекции – минимизировать эти искажения или распределить их определённым образом.
Основные виды проекций:
- Цилиндрические проекции: поверхность Земли проецируется на цилиндр, который затем разворачивается в плоскость. Пример – проекция Меркатора.
- Конические проекции: поверхность Земли проецируется на конус, который затем разворачивается.
- Азимутальные (плоские) проекции: поверхность Земли проецируется на плоскость, касательную к одной точке.
Система координат в геодезии – это набор правил и параметров, позволяющих однозначно определить положение точки на поверхности Земли или в пространстве. Она необходима для точного измерения расстояний, углов и высот.
Основные системы координат:
- Географическая система координат: использует широту (\(\phi\)) и долготу (\(\lambda\)) для определения положения точки на эллипсоиде. Широта – это угол между плоскостью экватора и нормалью к эллипсоиду, проходящей через данную точку. Долгота – это двугранный угол между плоскостью начального меридиана (Гринвичского) и плоскостью меридиана, проходящей через данную точку.
- Геоцентрическая система координат (XYZ): трёхмерная декартова система, начало которой совпадает с центром масс Земли. Ось Z направлена к Северному полюсу, ось X – к точке пересечения начального меридиана с экватором, ось Y дополняет систему до правой.
Прямоугольная система координат
В геодезии чаще всего используется плоская прямоугольная система координат, которая является проекцией географических координат на плоскость. Наиболее распространённая – система Гаусса-Крюгера.
- Оси: Ось X обычно направлена на север (вдоль осевого меридиана зоны), ось Y – на восток.
- Начало координат: Для каждой зоны начало координат находится на пересечении экватора и осевого меридиана. Чтобы избежать отрицательных значений по оси Y, к координате Y прибавляют 500 км (это называется "смещение на восток").
- Применение: Используется для создания топографических карт, планов, при инженерных изысканиях и строительстве.
- Обозначение: Координаты точки обозначаются как \(X\) и \(Y\).
Полярная система координат
Полярная система координат определяет положение точки относительно выбранного полюса (начала координат) и полярной оси (направления отсчёта).
- Элементы:
- Полюс (начало координат): Точка, от которой отсчитываются расстояния.
- Полярная ось: Луч, выходящий из полюса, от которого отсчитываются углы.
- Полярный радиус (\(\rho\)): Расстояние от полюса до данной точки.
- Полярный угол (\(\theta\)): Угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс с данной точкой. Отсчитывается обычно против часовой стрелки.
- Применение: Часто используется в геодезии для определения положения точек при тахеометрической съёмке, когда известны координаты одной точки (полюса), а другие точки определяются путём измерения расстояния до них и угла относительно известного направления.
- Связь с прямоугольными координатами: \[X = \rho \cdot \cos(\theta)\] \[Y = \rho \cdot \sin(\theta)\] \[\rho = \sqrt{X^2 + Y^2}\] \[\theta = \arctan\left(\frac{Y}{X}\right)\] (с учётом квадранта для \(\theta\))
2. Определение Меридиана и Долготы.
Меридиан
Определение: Меридиан – это половина большого круга, проходящего через географические полюсы Земли (Северный и Южный) и любую заданную точку на её поверхности. Все точки, лежащие на одном меридиане, имеют одинаковую долготу.
- Направление: Меридианы указывают направление "север-юг".
- Начальный меридиан: Для отсчёта долготы принят Гринвичский меридиан, проходящий через бывшую Гринвичскую обсерваторию в Лондоне. Его долгота равна 0°.
- Свойства:
- Все меридианы имеют одинаковую длину.
- Меридианы сходятся на полюсах.
- Меридианы перпендикулярны экватору.
Долгота (\(\lambda\))
Определение: Долгота – это угловое расстояние точки на поверхности Земли от начального (Гринвичского) меридиана, измеряемое вдоль экватора или параллели. Это двугранный угол между плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана, проходящей через данную точку.
- Единицы измерения: Градусы, минуты, секунды (от 0° до 180°).
- Направление отсчёта:
- Восточная долгота (В.Д. или E): Отсчитывается от Гринвичского меридиана на восток до 180°.
- Западная долгота (З.Д. или W): Отсчитывается от Гринвичского меридиана на запад до 180°.
- Значение: Долгота позволяет определить положение точки по горизонтали (восток-запад) относительно начального меридиана.
3. Ориентирование. Истинный азимут. Магнитный азимут. Дирекционный угол. Связь между ними.
Ориентирование – это определение положения линий на местности относительно сторон горизонта или относительно какого-либо исходного направления (например, меридиана). Цель ориентирования – придать всем измерениям единую систему отсчёта.
Истинный азимут (\(А\))
Определение: Истинный азимут – это горизонтальный угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления истинного (географического) меридиана до ориентируемой линии. Его значения изменяются от 0° до 360°.
- Исходное направление: Истинный (географический) меридиан, проходящий через данную точку.
- Применение: Используется в астрономии, при высокоточных геодезических работах, для определения направлений на картах.
Магнитный азимут (\(А_м\))
Определение: Магнитный азимут – это горизонтальный угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления магнитного меридиана до ориентируемой линии. Его значения изменяются от 0° до 360°.
- Исходное направление: Магнитный меридиан, указывающий на магнитный полюс Земли.
- Применение: Используется в полевых условиях с помощью компаса или буссоли.
- Особенность: Магнитный меридиан не совпадает с истинным из-за магнитного склонения.
Дирекционный угол (\(\alpha\))
Определение: Дирекционный угол – это горизонтальный угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления осевого меридиана зоны (или линии, параллельной ему) до ориентируемой линии. Его значения изменяются от 0° до 360°.
- Исходное направление: Северное направление линии, параллельной осевому меридиану зоны в плоской прямоугольной системе координат.
- Применение: Основной угловой параметр в геодезии для ориентирования линий на топографических картах и планах, а также при выполнении геодезических измерений в прямоугольных координатах.
Связь между ними
1. Связь между истинным азимутом и магнитным азимутом:
Различие между истинным и магнитным азимутом обусловлено магнитным склонением (\(\delta\)). Магнитное склонение – это угол между истинным и магнитным меридианами в данной точке. Оно может быть восточным (положительным) или западным (отрицательным).
\[A = A_м \pm \delta\]Где:
- \(A\) – истинный азимут.
- \(A_м\) – магнитный азимут.
- \(\delta\) – магнитное склонение. Знак "+" используется, если магнитный меридиан отклоняется к востоку от истинного (восточное склонение). Знак "-" используется, если магнитный меридиан отклоняется к западу от истинного (западное склонение).
Значение магнитного склонения меняется со временем и зависит от географического положения.
2. Связь между истинным азимутом и дирекционным углом:
Различие между истинным меридианом и линией, параллельной осевому меридиану зоны, обусловлено сближением меридианов (\(\gamma\)). Сближение меридианов – это угол между истинным меридианом, проходящим через данную точку, и линией, параллельной осевому меридиану зоны.
\[\alpha = A \pm \gamma\]Где:
- \(\alpha\) – дирекционный угол.
- \(A\) – истинный азимут.
- \(\gamma\) – сближение меридианов. Знак "+" используется, если истинный меридиан отклоняется к востоку от осевого (точка находится к востоку от осевого меридиана). Знак "-" используется, если истинный меридиан отклоняется к западу от осевого (точка находится к западу от осевого меридиана).
Сближение меридианов рассчитывается по формуле:
\[\gamma = (L - L_0) \cdot \sin(\phi)\]Где:
- \(L\) – долгота данной точки.
- \(L_0\) – долгота осевого меридиана зоны.
- \(\phi\) – широта данной точки.
3. Связь между магнитным азимутом и дирекционным углом:
Эту связь можно получить, объединив две предыдущие формулы:
\[\alpha = A_м \pm \delta \pm \gamma\]Или, введя поправку за ориентирование (\(\eta\)), которая является суммой магнитного склонения и сближения меридианов:
\[\eta = \delta \pm \gamma\] \[\alpha = A_м + \eta\]Где \(\eta\) – поправка за ориентирование, которая учитывает как магнитное склонение, так и сближение меридианов. Знак перед \(\gamma\) зависит от положения точки относительно осевого меридиана, а знак перед \(\delta\) – от направления магнитного склонения.