Решение задачи: Нахождение гипотенузы по радиусу вписанной окружности

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. 15. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле \(r = \frac{a+b-c}{2}\), где \(a\) и \(b\) – катеты, а \(c\) – гипотенуза треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите \(c\), если \(a=20\), \(b=21\) и \(r=6\). Решение: Дана формула: \(r = \frac{a+b-c}{2}\) Известны значения: \(a=20\), \(b=21\), \(r=6\). Подставим известные значения в формулу: \(6 = \frac{20+21-c}{2}\) Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \(6 \cdot 2 = 20+21-c\) \(12 = 41-c\) Теперь выразим \(c\). Для этого перенесем \(c\) в левую часть, а 12 в правую: \(c = 41-12\) \(c = 29\) Ответ: \(c=29\). 16. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле \(r = \frac{a+b-c}{2}\), где \(a\) и \(b\) – катеты, а \(c\) – гипотенуза треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите \(c\), если \(a=14\), \(b=48\) и \(r=6\). Решение: Дана формула: \(r = \frac{a+b-c}{2}\) Известны значения: \(a=14\), \(b=48\), \(r=6\). Подставим известные значения в формулу: \(6 = \frac{14+48-c}{2}\) Умножим обе части уравнения на 2: \(6 \cdot 2 = 14+48-c\) \(12 = 62-c\) Выразим \(c\): \(c = 62-12\) \(c = 50\) Ответ: \(c=50\). 17. Теорему косинусов можно записать в виде \(\cos \alpha = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) – стороны треугольника, а \(\alpha\) – угол между сторонами \(a\) и \(b\). Пользуясь этой формулой, найдите величину \(\cos \alpha\), если \(a=5\), \(b=8\) и \(c=9\). Решение: Дана формула: \(\cos \alpha = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) Известны значения: \(a=5\), \(b=8\), \(c=9\). Подставим известные значения в формулу: \(\cos \alpha = \frac{5^2+8^2-9^2}{2 \cdot 5 \cdot 8}\) Вычислим квадраты чисел: \(5^2 = 25\) \(8^2 = 64\) \(9^2 = 81\) Подставим эти значения обратно в формулу: \(\cos \alpha = \frac{25+64-81}{2 \cdot 5 \cdot 8}\) Вычислим сумму и разность в числителе: \(25+64-81 = 89-81 = 8\) Вычислим произведение в знаменателе: \(2 \cdot 5 \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80\) Теперь подставим эти значения обратно в формулу: \(\cos \alpha = \frac{8}{80}\) Сократим дробь: \(\cos \alpha = \frac{1}{10}\) \(\cos \alpha = 0.1\) Ответ: \(\cos \alpha = 0.1\). 18. Теорему косинусов можно записать в виде \(\cos \alpha = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) – стороны треугольника, а \(\alpha\) – угол между сторонами \(a\) и \(b\). Пользуясь этой формулой, найдите величину \(\cos \alpha\), если \(a=5\), \(b=6\) и \(c=7\). Решение: Дана формула: \(\cos \alpha = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) Известны значения: \(a=5\), \(b=6\), \(c=7\). Подставим известные значения в формулу: \(\cos \alpha = \frac{5^2+6^2-7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}\) Вычислим квадраты чисел: \(5^2 = 25\) \(6^2 = 36\) \(7^2 = 49\) Подставим эти значения обратно в формулу: \(\cos \alpha = \frac{25+36-49}{2 \cdot 5 \cdot 6}\) Вычислим сумму и разность в числителе: \(25+36-49 = 61-49 = 12\) Вычислим произведение в знаменателе: \(2 \cdot 5 \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60\) Теперь подставим эти значения обратно в формулу: \(\cos \alpha = \frac{12}{60}\) Сократим дробь: \(\cos \alpha = \frac{1}{5}\) \(\cos \alpha = 0.2\) Ответ: \(\cos \alpha = 0.2\).