Решение задачи: Исследование аттрактора Рёсслера

Дополнительное задание № 2. Исследование аттрактора Рёсслера. 1. Постановка системы уравнений Система дифференциальных уравнений Рёсслера имеет вид: \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = -(y + z) \\ \frac{dy}{dt} = x + a \cdot y \\ \frac{dz}{dt} = a + z \cdot (x - b) \end{cases} \] При заданных параметрах \( a = 0,2 \) и \( b = 2 \) система принимает вид: \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = -y - z \\ \frac{dy}{dt} = x + 0,2y \\ \frac{dz}{dt} = 0,2 + z(x - 2) \end{cases} \] 2. Определение точек равновесия Для поиска точек равновесия приравняем производные к нулю: \[ \begin{cases} -y - z = 0 \implies z = -y \\ x + 0,2y = 0 \implies x = -0,2y \\ 0,2 + z(x - 2) = 0 \end{cases} \] Подставим выражения для \( x \) и \( z \) в третье уравнение: \[ 0,2 + (-y)(-0,2y - 2) = 0 \] \[ 0,2 + 0,2y^2 + 2y = 0 \] Разделим на 0,2: \[ y^2 + 10y + 1 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 96 \] \[ y_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{96}}{2} = -5 \pm 2\sqrt{6} \] Приблизительные значения: \( y_1 \approx -0,101 \), \( y_2 \approx -9,899 \). Точки равновесия \( (x, y, z) \): Точка \( P_1 \): \( x_1 \approx 0,02 \), \( y_1 \approx -0,101 \), \( z_1 \approx 0,101 \) Точка \( P_2 \): \( x_2 \approx 1,98 \), \( y_2 \approx -9,899 \), \( z_2 \approx 9,899 \) 3. Исследование устойчивости Для анализа устойчивости составим матрицу Якоби: \[ J = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & a & 0 \\ z & 0 & x-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 0,2 & 0 \\ z & 0 & x-2 \end{pmatrix} \] Устойчивость определяется собственными числами \( \lambda \) характеристического уравнения \( \det(J - \lambda I) = 0 \). Для точки \( P_1 \): одно собственное число отрицательное вещественное, а два других — комплексные с положительной вещественной частью. Это означает, что точка является неустойчивым фокусом-седлом. Для точки \( P_2 \): также является неустойчивой. Неустойчивость точек равновесия при данных параметрах приводит к возникновению странного аттрактора (хаотического движения). 4. Моделирование в AnyDynamics Для реализации модели в AnyDynamics необходимо: 1. Создать новый проект и добавить переменные \( x, y, z \) с начальными значениями: \( x_0 = 2,5 \), \( y_0 = 2 \), \( z_0 = 1,5 \). 2. Прописать уравнения динамики в редакторе системы. 3. Настроить численный метод интегрирования (например, Рунге-Кутты 4-го порядка). 4. Вывести графики: - Временные диаграммы: графики зависимостей \( x(t) \), \( y(t) \), \( z(t) \) представляют собой незатухающие колебания сложной формы. - Фазовые диаграммы: проекции траектории на плоскости \( (x, y) \) и \( (x, z) \). На плоскости \( (x, y) \) будет видна характерная спираль, которая "выбрасывает" траекторию в третье измерение \( z \), после чего она снова возвращается в плоскость. Результат моделирования подтверждает наличие аттрактора Рёсслера — сложной пространственной структуры, к которой притягиваются все траектории из окрестности начальных условий.