Задача: При подготовке к экзамену студент выучил 35 вопросов из 45. Какова вероятность того, что он ответит только на 3 вопроса из 5 вопросов в билете?
Решение:
Это задача на применение формулы гипергеометрической вероятности, так как мы выбираем вопросы без возвращения из двух групп (выученные и невыученные).
Обозначим:
- \(N\) - общее количество вопросов (45)
- \(K\) - количество выученных вопросов (35)
- \(N - K\) - количество невыученных вопросов (45 - 35 = 10)
- \(n\) - количество вопросов в билете (5)
- \(k\) - количество вопросов, на которые студент ответит (3)
- \(n - k\) - количество вопросов, на которые студент не ответит (5 - 3 = 2)
Вероятность того, что студент ответит ровно на \(k\) вопросов из \(n\) в билете, вычисляется по формуле:
\[P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}\]Где \(C_a^b\) - это число сочетаний из \(a\) по \(b\), которое вычисляется по формуле:
\[C_a^b = \frac{a!}{b!(a-b)!}\]Теперь подставим наши значения:
1. Количество способов выбрать 3 выученных вопроса из 35:
\[C_{35}^3 = \frac{35!}{3!(35-3)!} = \frac{35!}{3!32!} = \frac{35 \cdot 34 \cdot 33}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \cdot 17 \cdot 11 = 6545\]2. Количество способов выбрать 2 невыученных вопроса из 10:
\[C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\]3. Общее количество способов выбрать 5 вопросов из 45:
\[C_{45}^5 = \frac{45!}{5!(45-5)!} = \frac{45!}{5!40!} = \frac{45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 11 \cdot 43 \cdot 7 \cdot 41 = 1221759\]Теперь подставим эти значения в формулу вероятности:
\[P(X=3) = \frac{C_{35}^3 \cdot C_{10}^2}{C_{45}^5} = \frac{6545 \cdot 45}{1221759} = \frac{294525}{1221759}\]Вычислим значение:
\[P(X=3) \approx 0.24107\]Округлим до четырех знаков после запятой:
\[P(X=3) \approx 0.2411\]Ответ:
Правильный ответ: 0,2411