Решение задачи о распределении мебели по двум комнатам

Вот решение задачи:

Задача: Имеется 2 кресла, 3 дивана и 4 столика. Сколькими способами их можно распределить по двум комнатам?

Решение:

Для каждого предмета мебели есть два варианта размещения: либо в первой комнате, либо во второй. Поскольку предметы одного типа (например, кресла) считаются одинаковыми для целей распределения по комнатам, мы можем рассмотреть каждый тип мебели отдельно.

1. Кресла: У нас есть 2 кресла. Каждое кресло может быть помещено в одну из двух комнат.

• Первое кресло: 2 варианта (комната 1 или комната 2).
• Второе кресло: 2 варианта (комната 1 или комната 2).

Однако, если мы просто умножим \(2 \cdot 2 = 4\), мы получим варианты, где кресла различаются. Но кресла одинаковые. Нам нужно распределить 2 одинаковых кресла по 2 комнатам. Это эквивалентно выбору, сколько кресел пойдет в первую комнату (остальные пойдут во вторую). Возможные распределения кресел:

• 0 кресел в комнате 1, 2 кресла в комнате 2
• 1 кресло в комнате 1, 1 кресло в комнате 2
• 2 кресла в комнате 1, 0 кресел в комнате 2

Таким образом, для кресел есть 3 способа распределения. Или, используя формулу для размещения \(k\) одинаковых предметов по \(n\) различным ячейкам: \(C_{k+n-1}^{k}\). Здесь \(k=2\) (кресла), \(n=2\) (комнаты). \[C_{2+2-1}^2 = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3\] Итак, 3 способа для кресел.

2. Диваны: У нас есть 3 дивана. Аналогично, для диванов: \[C_{3+2-1}^3 = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 4\] Итак, 4 способа для диванов.

3. Столики: У нас есть 4 столика. Аналогично, для столиков: \[C_{4+2-1}^4 = C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 5\] Итак, 5 способов для столиков.

Поскольку выбор распределения для каждого типа мебели независим, общее количество способов распределить все предметы по двум комнатам равно произведению количества способов для каждого типа мебели.

Общее количество способов = (Способы для кресел) \(\times\) (Способы для диванов) \(\times\) (Способы для столиков)

Общее количество способов = \(3 \times 4 \times 5 = 60\)

Ответ: 60