Задача: У разведчика есть 7 сигнальных ракет разного цвета. Сколько условных сигналов 3 ракетами последовательно он сможет подать?
Решение:
В этой задаче нам нужно выбрать 3 ракеты из 7 и расположить их в определенном порядке (последовательно). Это означает, что порядок выбора имеет значение. Например, сигнал "красная, синяя, зеленая" отличается от сигнала "синяя, красная, зеленая".
Такие комбинации, где порядок элементов важен, называются размещениями.
Формула для числа размещений из \(n\) элементов по \(k\) элементам (без повторений) выглядит так:
\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]В нашей задаче:
- \(n\) - общее количество сигнальных ракет (7)
- \(k\) - количество ракет, используемых для сигнала (3)
Подставим значения в формулу:
\[A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!}\]Распишем факториалы:
\[A_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]Сократим \(4!\) в числителе и знаменателе:
\[A_7^3 = 7 \cdot 6 \cdot 5\]Вычислим произведение:
\[A_7^3 = 42 \cdot 5 = 210\]Таким образом, разведчик сможет подать 210 различных условных сигналов.
Ответ: 210