Задача: В тире первый стрелок попал в мишень в 5 раз реже второго, причем первый стрелок выстрелил 25 раз и второй - 50 раз. Относительная частота общего числа попадания в мишень для обоих стрелков равна 0,4. Сколько раз попал в мишень первый стрелок?
Решение:
Обозначим:
- \(N_1\) - количество выстрелов первого стрелка = 25
- \(N_2\) - количество выстрелов второго стрелка = 50
- \(X_1\) - количество попаданий первого стрелка
- \(X_2\) - количество попаданий второго стрелка
Из условия задачи известно, что первый стрелок попал в мишень в 5 раз реже второго. Это можно записать как:
\[X_2 = 5 \cdot X_1\]Общее количество выстрелов для обоих стрелков:
\[N_{общ} = N_1 + N_2 = 25 + 50 = 75\]Общее количество попаданий для обоих стрелков:
\[X_{общ} = X_1 + X_2\]Относительная частота общего числа попаданий в мишень для обоих стрелков равна 0,4. Относительная частота вычисляется как отношение числа попаданий к общему числу выстрелов:
\[\text{Относительная частота} = \frac{X_{общ}}{N_{общ}}\]Подставим известные значения:
\[0.4 = \frac{X_1 + X_2}{75}\]Теперь выразим \(X_{общ}\):
\[X_1 + X_2 = 0.4 \cdot 75\] \[X_1 + X_2 = 30\]У нас есть система из двух уравнений:
- \(X_2 = 5 \cdot X_1\)
- \(X_1 + X_2 = 30\)
Подставим первое уравнение во второе:
\[X_1 + (5 \cdot X_1) = 30\] \[6 \cdot X_1 = 30\]Разделим обе части на 6, чтобы найти \(X_1\):
\[X_1 = \frac{30}{6}\] \[X_1 = 5\]Таким образом, первый стрелок попал в мишень 5 раз.
Для проверки можно найти \(X_2\):
\[X_2 = 5 \cdot X_1 = 5 \cdot 5 = 25\]И проверить общую сумму попаданий:
\[X_1 + X_2 = 5 + 25 = 30\]Что соответствует относительной частоте \(30/75 = 0.4\).
Ответ: 5