schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи: Площадь параллелограмма через векторное произведение
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: показываю, это очень просто. И вот, как я вам показываю, это очень просто. И вот, как я вам показываю, это очень просто. И вот, как я вам показываю, это очень просто. И вот, как я вам показываю, это очень просто. И вот, как я вам показываю, это очень просто. И вот, как я вам показываю, это очень просто. И вот, как я вам показываю, это очень просто.
lightbulbКраткий ответ
Площадь параллелограмма, построенного на векторах, находится через модуль их векторного произведения. В данном решении приведен подробный расчет с использованием определителя.
Подробное решение
Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), численно равна модулю их векторного произведения: \(S = |\vec{a} \times \vec{b}|\).
Дано:
\(\vec{a} = (8; 4; 1)\)
\(\vec{b} = (2; -2; 1)\)
Решение:
1. Найдем векторное произведение \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\) через определитель:
\[ \vec{c} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 8 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ \vec{c} = \bar{i}(4 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) - \bar{j}(8 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \bar{k}(8 \cdot (-2) - 4 \cdot 2) \]
\[ \vec{c} = \bar{i}(4 + 2) - \bar{j}(8 - 2) + \bar{k}(-16 - 8) \]
\[ \vec{c} = 6\bar{i} - 6\bar{j} - 24\bar{k} \]
Координаты вектора произведения: \((6; -6; -24)\).
2. Вычислим модуль этого вектора, который и будет равен площади:
\[ S = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + (-24)^2} \]
\[ S = \sqrt{36 + 36 + 576} \]
\[ S = \sqrt{648} \]
3. Упростим полученное выражение:
\[ \sqrt{648} = \sqrt{324 \cdot 2} = 18\sqrt{2} \]
Ответ: \( 18\sqrt{2} \)