Разложение вектора d(4; 12; -3) по базису векторов a, b, c

Чтобы найти разложение вектора \(\vec{d}(4; 12; -3)\) по базису \(\vec{a}(2; 3; 1)\), \(\vec{b}(5; 7; 0)\), \(\vec{c}(3; -2; 4)\), нужно найти такие числа \(x, y, z\), чтобы выполнялось равенство: \[ \vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} \] Решение: 1. Запишем систему линейных уравнений по координатам: \[ \begin{cases} 2x + 5y + 3z = 4 \\ 3x + 7y - 2z = 12 \\ 1x + 0y + 4z = -3 \end{cases} \] 2. Из третьего уравнения выразим \(x\): \[ x = -3 - 4z \] 3. Подставим это выражение в первое и второе уравнения: \[ \begin{cases} 2(-3 - 4z) + 5y + 3z = 4 \\ 3(-3 - 4z) + 7y - 2z = 12 \end{cases} \] \[ \begin{cases} -6 - 8z + 5y + 3z = 4 \\ -9 - 12z + 7y - 2z = 12 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 5y - 5z = 10 \\ 7y - 14z = 21 \end{cases} \] 4. Разделим первое уравнение на 5, а второе на 7: \[ \begin{cases} y - z = 2 \\ y - 2z = 3 \end{cases} \] 5. Вычтем из первого уравнения второе: \[ (y - z) - (y - 2z) = 2 - 3 \] \[ z = -1 \] 6. Найдем \(y\), подставив \(z = -1\) в уравнение \(y - z = 2\): \[ y - (-1) = 2 \Rightarrow y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1 \] 7. Найдем \(x\), подставив \(z = -1\) в выражение \(x = -3 - 4z\): \[ x = -3 - 4(-1) = -3 + 4 = 1 \] 8. Получили коэффициенты: \(x = 1, y = 1, z = -1\). Разложение имеет вид: \[ \vec{d} = 1\vec{a} + 1\vec{b} - 1\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} \] Ответ: \( \vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} \)