Решение задачи: ортогональность векторов

Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Используем это свойство для составления системы уравнений. Пусть \( |\vec{a}|^2 = a^2 \), \( |\vec{b}|^2 = b^2 \), а скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos \phi \). Решение: 1. Из первого условия ортогональности \( (\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (7\vec{a} - 5\vec{b}) = 0 \): \[ 7\vec{a}^2 - 5\vec{a}\vec{b} + 21\vec{a}\vec{b} - 15\vec{b}^2 = 0 \] \[ 7a^2 + 16\vec{a}\vec{b} - 15b^2 = 0 \quad (1) \] 2. Из второго условия ортогональности \( (\vec{a} - 4\vec{b}) \cdot (7\vec{a} - 2\vec{b}) = 0 \): \[ 7\vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} - 28\vec{a}\vec{b} + 8\vec{b}^2 = 0 \] \[ 7a^2 - 30\vec{a}\vec{b} + 8b^2 = 0 \quad (2) \] 3. Вычтем уравнение (2) из уравнения (1): \[ (7a^2 - 7a^2) + (16\vec{a}\vec{b} - (-30\vec{a}\vec{b})) + (-15b^2 - 8b^2) = 0 \] \[ 46\vec{a}\vec{b} - 23b^2 = 0 \] \[ 46\vec{a}\vec{b} = 23b^2 \Rightarrow \vec{a}\vec{b} = \frac{1}{2}b^2 \] 4. Подставим \( \vec{a}\vec{b} = 0.5b^2 \) в уравнение (2), чтобы найти связь между \( a^2 \) и \( b^2 \): \[ 7a^2 - 30(0.5b^2) + 8b^2 = 0 \] \[ 7a^2 - 15b^2 + 8b^2 = 0 \] \[ 7a^2 - 7b^2 = 0 \Rightarrow a^2 = b^2 \Rightarrow a = b \] 5. Теперь найдем косинус угла \( \phi \) между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{0.5b^2}{a \cdot b} \] Так как \( a = b \), то: \[ \cos \phi = \frac{0.5b^2}{b \cdot b} = \frac{0.5b^2}{b^2} = 0.5 \] 6. Определим угол: \[ \cos \phi = \frac{1}{2} \Rightarrow \phi = 60^\circ \] Ответ: 60 градусов (или \( \pi/3 \))