1. Анализ таблицы данных
В таблице представлены следующие столбцы:- № опыта
- p, атм (опыт) - давление в атмосферах, полученное экспериментально.
- \( \ln p \) - натуральный логарифм давления.
- T кипения, °C - температура кипения в градусах Цельсия.
- T, K - температура кипения в Кельвинах.
- \( \frac{1}{T}, K^{-1} \) - обратная величина температуры в Кельвинах.
- p, атм (расчет) - давление в атмосферах, полученное расчетным путем (этот столбец, вероятно, будет использоваться для проверки после определения \( \lambda \) и const).
2. Построение графика
Уравнение, которое нам дано, имеет вид: \[ \ln p = -\frac{\lambda}{RT} + \text{const} \] Это уравнение является линейным, если мы обозначим \( y = \ln p \) и \( x = \frac{1}{T} \). Тогда оно примет вид: \[ y = \left(-\frac{\lambda}{R}\right)x + \text{const} \] Это уравнение прямой линии \( y = kx + b \), где:- \( k = -\frac{\lambda}{R} \) - угловой коэффициент (наклон) прямой.
- \( b = \text{const} \) - свободный член (точка пересечения с осью Y).
| № опыта | \( \frac{1}{T}, K^{-1} \) | \( \ln p \) |
|---|---|---|
| 1 | 0,00330 | -2,30 |
| 2 | 0,00316 | -1,61 |
| 3 | 0,00310 | -1,20 |
| 4 | 0,00300 | -0,92 |
| 5 | 0,00300 | -0,69 |
| 6 | 0,00290 | -0,51 |
| 7 | 0,00290 | -0,36 |
| 8 | 0,00280 | -0,22 |
| 9 | 0,00280 | -0,11 |
| 10 | 0,00280 | 0,00 |
3. Определение углового коэффициента \( k \) и свободного члена \( b \)
Для определения \( k \) и \( b \) можно использовать метод наименьших квадратов (МНК) или просто выбрать две точки на прямой, которая наилучшим образом аппроксимирует экспериментальные данные. Для школьника, скорее всего, достаточно будет выбрать две точки. Давайте выберем две точки, например, первую и последнюю, или те, которые кажутся наиболее удаленными друг от друга и хорошо лежат на предполагаемой прямой. Возьмем, например, точку 1: \( x_1 = 0,00330 \), \( y_1 = -2,30 \) И точку 10: \( x_{10} = 0,00280 \), \( y_{10} = 0,00 \) Угловой коэффициент \( k \) рассчитывается как: \[ k = \frac{y_{10} - y_1}{x_{10} - x_1} \] \[ k = \frac{0,00 - (-2,30)}{0,00280 - 0,00330} \] \[ k = \frac{2,30}{-0,00050} \] \[ k = -4600 \] Теперь найдем свободный член \( b \) (const). Используем уравнение прямой \( y = kx + b \) и одну из точек, например, точку 10: \[ y_{10} = kx_{10} + b \] \[ 0,00 = (-4600) \cdot (0,00280) + b \] \[ 0,00 = -12,88 + b \] \[ b = 12,88 \] Итак, мы получили: \[ k = -4600 \] \[ \text{const} = 12,88 \]4. Определение скрытой теплоты испарения \( \lambda \)
Мы знаем, что \( k = -\frac{\lambda}{R} \). Универсальная газовая постоянная \( R \) имеет значение \( 8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \). Тогда: \[ -4600 = -\frac{\lambda}{8,314} \] \[ \lambda = 4600 \cdot 8,314 \] \[ \lambda = 38244,4 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}} \] Если нужно выразить в кДж/моль: \[ \lambda = 38,2444 \frac{\text{кДж}}{\text{моль}} \]5. Определение постоянной интегрирования
Постоянная интегрирования - это наш свободный член \( b \), который мы уже нашли: \[ \text{const} = 12,88 \]Итоговые результаты:
- График зависимости \( \ln p = f\left(\frac{1}{T}\right) \) представляет собой прямую линию.
- Уравнение этой прямой: \( \ln p = -4600 \cdot \frac{1}{T} + 12,88 \).
- Скрытая теплота испарения \( \lambda = 38244,4 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}} \) (или \( 38,24 \frac{\text{кДж}}{\text{моль}} \)).
- Постоянная интегрирования \( \text{const} = 12,88 \).
Как это переписать в тетрадь школьнику:
Заголовок: Определение скрытой теплоты испарения и постоянной интегрирования
Цель работы: Построить график зависимости \( \ln p = f\left(\frac{1}{T}\right) \) по опытным данным и определить скрытую теплоту испарения \( \lambda \) и постоянную интегрирования из уравнения \( \ln p = -\frac{\lambda}{RT} + \text{const} \).
Ход работы:
1. Переписываем необходимые данные из таблицы:
| № опыта | \( \frac{1}{T}, K^{-1} \) | \( \ln p \) |
|---|---|---|
| 1 | 0,00330 | -2,30 |
| 2 | 0,00316 | -1,61 |
| 3 | 0,00310 | -1,20 |
| 4 | 0,00300 | -0,92 |
| 5 | 0,00300 | -0,69 |
| 6 | 0,00290 | -0,51 |
| 7 | 0,00290 | -0,36 |
| 8 | 0,00280 | -0,22 |
| 9 | 0,00280 | -0,11 |
| 10 | 0,00280 | 0,00 |
2. Строим график зависимости \( \ln p \) от \( \frac{1}{T} \). По оси X откладываем значения \( \frac{1}{T} \), по оси Y - значения \( \ln p \). Точки ложатся примерно на прямую линию.
(Здесь нужно нарисовать график. Если нет возможности нарисовать, можно просто указать, что график построен и представляет собой прямую линию.)
3. Определяем угловой коэффициент \( k \) и свободный член \( b \) (постоянную интегрирования) прямой. Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \), где \( y = \ln p \), \( x = \frac{1}{T} \). Выберем две точки на графике, например, первую и последнюю: Точка 1: \( x_1 = 0,00330 \), \( y_1 = -2,30 \) Точка 10: \( x_{10} = 0,00280 \), \( y_{10} = 0,00 \) Рассчитываем угловой коэффициент \( k \): \[ k = \frac{y_{10} - y_1}{x_{10} - x_1} = \frac{0,00 - (-2,30)}{0,00280 - 0,00330} = \frac{2,30}{-0,00050} = -4600 \] Рассчитываем свободный член \( b \) (постоянную интегрирования), используя точку 10: \[ y_{10} = kx_{10} + b \] \[ 0,00 = (-4600) \cdot (0,00280) + b \] \[ 0,00 = -12,88 + b \] \[ b = 12,88 \] Таким образом, постоянная интегрирования \( \text{const} = 12,88 \).
4. Определяем скрытую теплоту испарения \( \lambda \). Из уравнения \( \ln p = -\frac{\lambda}{RT} + \text{const} \) мы знаем, что угловой коэффициент \( k = -\frac{\lambda}{R} \). Универсальная газовая постоянная \( R = 8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \). \[ -4600 = -\frac{\lambda}{8,314} \] \[ \lambda = 4600 \cdot 8,314 \] \[ \lambda = 38244,4 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}} \] Или в килоджоулях: \[ \lambda = 38,24 \frac{\text{кДж}}{\text{моль}} \]
Вывод: Построен график зависимости \( \ln p = f\left(\frac{1}{T}\right) \), который является прямой линией. Определены следующие значения: Скрытая теплота испарения \( \lambda = 38,24 \frac{\text{кДж}}{\text{моль}} \). Постоянная интегрирования \( \text{const} = 12,88 \). Уравнение зависимости \( \ln p \) от \( \frac{1}{T} \) имеет вид: \( \ln p = -4600 \cdot \frac{1}{T} + 12,88 \).