Решение алгебраических задач онлайн

Конечно, давайте решим эти алгебраические задачи по порядку. 1. Найдите значение выражения: \[ \frac{a-2}{a^2+4}, \text{ если } a = -1 \] Решение: Подставим значение \(a = -1\) в выражение: \[ \frac{-1-2}{(-1)^2+4} = \frac{-3}{1+4} = \frac{-3}{5} \] Ответ: \(-\frac{3}{5}\) 2. Сократите дробь: \[ \frac{ab(y-5)}{a^3b(y-5)} \] Решение: Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Предполагаем, что \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) и \(y-5 \neq 0\). \[ \frac{ab(y-5)}{a^3b(y-5)} = \frac{1}{a^{3-1}} = \frac{1}{a^2} \] Ответ: \(\frac{1}{a^2}\) 3. Выполните деление: \[ \frac{5x^3}{3y^2} : \frac{10x^2}{6y} \] Решение: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на обратную второй дроби: \[ \frac{5x^3}{3y^2} \cdot \frac{6y}{10x^2} \] Теперь перемножим числители и знаменатели, а затем сократим: \[ \frac{5x^3 \cdot 6y}{3y^2 \cdot 10x^2} = \frac{30x^3y}{30x^2y^2} \] Сократим общие множители \(30\), \(x^2\), \(y\): \[ \frac{30x^3y}{30x^2y^2} = \frac{x^{3-2}}{y^{2-1}} = \frac{x}{y} \] Ответ: \(\frac{x}{y}\) 4. Выполните умножение: \[ \frac{6x+3}{y-2} \cdot \frac{4y-8}{2x+1} \] Решение: Сначала вынесем общие множители из числителей: \(6x+3 = 3(2x+1)\) \(4y-8 = 4(y-2)\) Подставим это в выражение: \[ \frac{3(2x+1)}{y-2} \cdot \frac{4(y-2)}{2x+1} \] Теперь перемножим дроби и сократим общие множители \((2x+1)\) и \((y-2)\). Предполагаем, что \(y-2 \neq 0\) и \(2x+1 \neq 0\). \[ \frac{3(2x+1) \cdot 4(y-2)}{(y-2) \cdot (2x+1)} = 3 \cdot 4 = 12 \] Ответ: \(12\) 5. Вычислите значение выражения: \[ (0,2)^{-2} + (15,2)^0 \] Решение: Вспомним свойства степеней: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) \(a^0 = 1\) (для \(a \neq 0\)) Тогда: \[ (0,2)^{-2} = \left(\frac{2}{10}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25 \] \[ (15,2)^0 = 1 \] Сложим полученные значения: \[ 25 + 1 = 26 \] Ответ: \(26\) 6. Какому из указанных выражений равно дробь: \[ \frac{x^{-6}}{x^{-3}} \] Решение: Используем свойство степеней: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) \[ \frac{x^{-6}}{x^{-3}} = x^{-6 - (-3)} = x^{-6+3} = x^{-3} \] Ответ: \(x^{-3}\) 7. Выполните действия: \[ (3,6 \cdot 10^4) : (1,2 \cdot 10^{-3}) \] Решение: Разделим числа и степени отдельно: \[ \frac{3,6 \cdot 10^4}{1,2 \cdot 10^{-3}} = \left(\frac{3,6}{1,2}\right) \cdot \left(\frac{10^4}{10^{-3}}\right) \] \[ \frac{3,6}{1,2} = 3 \] \[ \frac{10^4}{10^{-3}} = 10^{4 - (-3)} = 10^{4+3} = 10^7 \] Перемножим полученные результаты: \[ 3 \cdot 10^7 \] Ответ: \(3 \cdot 10^7\) 8. Упростите выражение: \[ \left(\frac{3m^3}{4n^{-2}}\right)^{-2} \cdot 9m^{-6}n^2 \] Решение: Сначала раскроем скобки, используя свойства степеней \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) и \((a^m)^n = a^{mn}\): \[ \left(\frac{3m^3}{4n^{-2}}\right)^{-2} = \frac{(3m^3)^{-2}}{(4n^{-2})^{-2}} = \frac{3^{-2}(m^3)^{-2}}{4^{-2}(n^{-2})^{-2}} = \frac{3^{-2}m^{-6}}{4^{-2}n^4} \] Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \frac{3^{-2}m^{-6}}{4^{-2}n^4} \cdot 9m^{-6}n^2 \] Заменим \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\) и \(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\): \[ \frac{\frac{1}{9}m^{-6}}{\frac{1}{16}n^4} \cdot 9m^{-6}n^2 = \frac{1}{9}m^{-6} \cdot \frac{16}{1} \cdot \frac{1}{n^4} \cdot 9m^{-6}n^2 \] Перегруппируем множители: \[ \left(\frac{1}{9} \cdot 16 \cdot 9\right) \cdot (m^{-6} \cdot m^{-6}) \cdot \left(\frac{1}{n^4} \cdot n^2\right) \] \[ (16) \cdot (m^{-6-6}) \cdot (n^{2-4}) \] \[ 16 \cdot m^{-12} \cdot n^{-2} \] Можно записать как: \[ \frac{16}{m^{12}n^2} \] Ответ: \(\frac{16}{m^{12}n^2}\) 9. Решите уравнение: \[ \frac{4}{1+x} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{3-x^2}{x^2-1} \] Решение: Сначала найдем общий знаменатель. Заметим, что \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\). Общий знаменатель будет \((x-1)(x+1)\). Ограничения: \(x \neq 1\) и \(x \neq -1\). Приведем все дроби к общему знаменателю: \[ \frac{4(x-1)}{(1+x)(x-1)} - \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3-x^2}{(x-1)(x+1)} \] Теперь, когда знаменатели одинаковые, мы можем приравнять числители: \[ 4(x-1) - (x+1)^2 = 3-x^2 \] Раскроем скобки: \[ 4x - 4 - (x^2 + 2x + 1) = 3 - x^2 \] \[ 4x - 4 - x^2 - 2x - 1 = 3 - x^2 \] Перенесем все члены в одну сторону и упростим: \[ -x^2 + 2x - 5 = 3 - x^2 \] Прибавим \(x^2\) к обеим частям: \[ 2x - 5 = 3 \] Прибавим \(5\) к обеим частям: \[ 2x = 8 \] Разделим на \(2\): \[ x = 4 \] Проверим, удовлетворяет ли \(x=4\) ограничениям. \(4 \neq 1\) и \(4 \neq -1\), так что решение подходит. Ответ: \(x=4\)