Решение тригонометрического уравнения cos x +√3 sin (3π/2 - x/2) +1 = 0

Решение: Дано уравнение: \[ \cos x + \sqrt{3} \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) + 1 = 0 \] 1. Упростим выражение, используя формулу приведения: \[ \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\cos \alpha \] В нашем случае \(\alpha = \frac{x}{2}\), поэтому: \[ \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) = -\cos \frac{x}{2} \] 2. Подставим это в исходное уравнение: \[ \cos x - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} + 1 = 0 \] 3. Используем формулу косинуса двойного угла, чтобы выразить \(\cos x\) через \(\cos \frac{x}{2}\): \[ \cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1 \] Подставляем: \[ 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1 - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} + 1 = 0 \] \[ 2\cos^2 \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0 \] 4. Вынесем общий множитель за скобки: \[ \cos \frac{x}{2} \left( 2\cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} \right) = 0 \] 5. Уравнение распадается на два случая: а) \(\cos \frac{x}{2} = 0\) \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] б) \(2\cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} = 0\) \[ \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z} \] 6. Отберем корни на отрезке \([-4\pi; -2,5\pi]\): Для серии \(x = \pi + 2\pi k\): При \(k = -2\): \(x = \pi - 4\pi = -3\pi\) (входит в отрезок) При \(k = -3\): \(x = \pi - 6\pi = -5\pi\) (не входит) Для серии \(x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n\): При \(n = -1\): \(x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \approx -3,66\pi\) (входит в отрезок) Для серии \(x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi n\): При \(n = 0\): \(x = -\frac{\pi}{3}\) (не входит) При \(n = -1\): \(x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} \approx -4,33\pi\) (не входит) Ответ: Корни уравнения: \(x = \pi + 2\pi k\); \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\). Корни на отрезке: \(-3\pi\); \(-\frac{11\pi}{3}\).